Вариант 4
Задача 1
Дано:
Q=15 кН
G= 1,8кН
a=0,10м
b=0,40м
c=0,06м
f=0,25
Решение:
Рассмотрим по отдельности участки конструкции и приложенные к ним силы:
1)
а) ΣXS= XD –T=0
б) ΣYS= YD – Q=0
в) ΣmO( FS)= T*R – Q*R=0
Из уравнения «в» находим T и Q:
T=Q=15 кН
XD=T=15 кН
YD=15кН
2) а)ΣXO= XO +T+ FТР.max =0
б)ΣYO= YO – N-G=0
в)ΣmO( FS)= T*R – FТР.max*2R=0 FТР.max
Из уравнения «в» находим силу трения
FТР.max=T/2=7,5кН
После чего находим нормальную реакцию N
FТР.max=f*N откуда:
N= FТР.max / f = 7,5 / 0,25=30 кН
После чего находим XO и YO :
XO= 30 - 7,5=22,5 кН
YO= 30 + 1,8= 31,8 кН
3) а) ΣXA= XA –FТР.max =0
б) ΣYA= YA – Pmin +N=0
в) ΣmO( FS)= -N*B + Pmin(a+b) - FТР.max *c=0
Из уравнения «а»: XA=FТР.max=7,5 кН
Из уравнения «в» находим минимальное значение силы P:
Pmin= (N * b + FТР.max * c) / (a + b)= ( 30 * 0,4 + 7,5 * 0,06) / 0,5 = 24,9 кН
После чего из уравнения «б» находим YA :
YA = 24,9 -30 = - 5,1 кН
Ответ: Pmin = 24,9 кН XO= 22,5 кН
YA= - 5,1 кН YO= 31,8 кН
XA=7,5 кН FТР.max=7,5 кН
N=30 кН
Задача 2
Даны уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.
x=4t+4
y=-4/(t+1)
t1=2
Траектория точки (рис.1) - часть параболы с вертикальной осью симметрии.
Определим положение точки на траектории в рассматриваемый момент времени.
При t = 1c x = 0м y = 4м (координата равна -4)
Определяем скорость и ускорение точки с помощью уравнений движения по их проекциям на оси декартовых координат:
Vx = x' = 2
Vy = y' = -8t
V=√(Vx2 + Vy2) = √(4 + 64t2) = 2√(1+16t2)
При t=1c: Vx=2 м/с
Vy = -8 м/с
V=8,246 м/с
Направляющие косинусы для скорости равны
Cos (V^x) = Vx/V = 2/8,246 = 0,2425
Cos (V^y) = Vy/v = -8/8,246 = 0,97
ax = x'' = 0
ay = -8 м/с2
a=√(ax2 + ay2)
a= |ay| = 8 м/с2
cos (a^x) = ax/a =0
cos (a^y) = ay/a =1
Вектор ускорения направлен параллельно оси oy (по оси oy) в отрицательную сторону.
Уравнения движения точки в полярных координатах
r=√(x2 + y2)
φ = arctg y/x
Получаем: r= √[(2t-2)2 + 16t4] = √[4t2 - 8t + 4 + 16t4 = 2√[t2 - 2t + 1 + 4t4
φ=arctg[-4t4/(2t-2)]
Вычислим величину радиальной составляющей скорости
Vr=dr/dr
Vr = (2t-2+16t3)/[√(t2 - 2t + 1 + 4t4]
При t=1 сек Vr=8 м/с
Знак плюс показывает, что радиальная составляющая скорости направлена по радиус-вектору точки М.
Вычислим величину трансверальной составляющей скорости.
Vp = rd(φ)/dt
dφ/dt = 1/[1 + 16t4/(2t-2)2] * [-8t(2t-2) + 4t22]/(2t-2)2 = (4t-2t)2/[(t-1)2 + 4t4]
Vp=[2(4t-2t2√(t2 - 2t + 1 + 4t4)]/[(t-1)2 + 4t4] = (8t-4t2)/√(t2 - 2t + 1 + 4t4)
При t=1 Vp = 2 м/с
Знак плюс показывает, что трансверальная составляющая скорости направлена в сторону увеличения угла φ.
Проверим правильность вычислений модуля скорости по формуле:
V = √(Vr2 + Vp2) = √(4+64) = 8,246 м/с
Определим величины касательного и нормального ускорений точки. При естественном способе задания движения величина касательного ускорения определяется по формуле
aт=dVt/dt = d[√(x'2 + y'2)] = (Vxax + Vyay)/V = 64t/[2√(1+16t2)]=32t/√(1+16t2)
При t=1 c aт=7,76 м/с2
Так как знаки скорости и касательного ускорения совпадают, точка движется ускоренно.
Нормальное ускорение:
an=√(a2 - a2т)
an = √(64-60,2176) = √3,7284 = 1,345 м/с2
Задача Д 8
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.
Дано:
Найти: Скорость .
Решение:
На механическую систему действуют внешние силы: - сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.
Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат
, (1)
где - проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.
Количество движения системы тел 1, 2 и 3
(2)
где
. (3)
Здесь - скорости центров масс тел 1, 2, 3; - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.
Очевидно, что
(4)
Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)
(5)
где - проекция вектора на ось ;
Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси
(6)
Знак « - » соответствует случаю, когда , а знак «+» - случаю, когда .
Подставляя (5) и (6) в (1), получим
(7)
Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим
при ; (8)
при . (9)
где
Рассмотрим промежуток времени , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что
,
где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при
.
При скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .
Найдем значения и :
Т.е. , . Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: ; (10)
Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при
(11)
При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда
.
Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:
при (12)
; при , (13)
где
Из (12) и учитывая, что получаем, при
откуда или
Из (13) и учитывая, что получаем, при
При находим
Ответ: .
Задача Д 3
Исследование колебательного движения материальной точки.
Дано:
Найти: Уравнение движения
Решение:
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение . Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:
,
где -сумма проекций на ось сил, действующих на груз.
Таким образом
Здесь
,
где - статическая деформация пружины под действием груза;
Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
Введем обозначения:
Получаем, что
при ,
Откуда
Тогда уравнение движения груза примет вид:
Ответ:
Другие работы по теме:
Сопротивление материалов 2 Методическое указание
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ВВЕДЕНИЕ При проектировании различных конструкций необходимо производить расчёты на прочность. Неправильный расчёт самой на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжёлые последствия, привести к разрушению всей конструкции.
Полиномы Лагерра в квантовой механике
Министерство образования Российской Федерации Иркутский Государственный Технический Университет Физико-технический институт Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий
Определение реакций опор твердого тела
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Иркутский государственный технический университет Кафедра теоретической механики
Теоретическая физика механика
“Согласовано” “Утверждено” Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________ План-конспект занятия По теоретической физике
Определение реакций опор твердого тела
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Иркутский государственный технический университет Кафедра теоретической механики
Решение задач по теоретической механике
Определение величины сил, приложенных к отдельным участкам конструкции, силы трения, нормальной реакции. Вычисление положения точки на траектории в рассматриваемый момент времени. Применение теоремы об изменении количества движения к механической системе.
Определение величин по теоретической механике
Определение поступательного и вращательного движения твердого тела. Кинематический анализ плоского механизма. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы. Применение общего управления динамики к движению.
Статика. Кинематика точки
Министерство образования и науки Российской Федерации Кафедра «Теоретическая механика и сопротивление материалов» Расчетная работа по теоретической механике №1
на тему «Абсолютный слух»
Преподаватель оставляет за собой право отклонить неоригинальные ("списанные") рефераты, неаккуратно оформленные рефераты, рефераты не по теме
«Пластические массы»
Восстановить все лекции, сделать конспекты заданного материала, выполнить задания к тесту. Также продолжить составление исторического словаря
по физике на тему: “
Сама тема «Великие Механики» достаточно узкая, ведь Великих механиков не так много, да и про них много не расскажешь, поэтому в моем реферате так же будет освещена тема самой механики
Биологические потенциалы.Потенциал покоя
Биоэлектрические потенциалы. Потенциал покоя Механизмах регуляции внутриклеточных процессов, возбуждение клеток, проведения импульса по нервному волокну, реакции на внешнее раздражители , в механике мышечного сокращения, в различного вида преобразованиях энергии большую роль играют электрические процессы- возникновение и распространение электрических потенциалов
Законы движения планет
Конические сечения играют в астрономии выдающуюся роль, причем не только в небесной механике, но и оптике, поэтому стоит уделить им особое внимание. Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью.
Замечательное уравнение кинематики
В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения.
Волшебный мир Пуанкаре
Многие профессиональные математики выделяли геометрию среди остальных разделов математики, считая её подобно механике экспериментальной наукой.
Исследования и теории Габриеля Крамера
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
Крамер, Габриэль
Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Начало журнал
Начало, нелегальное издание — революционное печатное издание, выходившее нелегально в России с марта по май 1878 г. Вышло 4 номера. Начало ставило своей задачей «заниматься преимущественно не теоретической разработкой принципиальных вопросов, а критикой явлений существующего общественного строя и освещения с точки зрения принципов социализма фактов текущей жизни».
Ханстен, Кристофер
Введение 1 Биография 2 Награды Введение Кристофер Ханстен (норв. Christopher Hansteen (1784 −1873)) — норвежский астроном, физик и геофизик.
Лексель, Андрей Иванович
Андрей Иванович Лексель (швед. Anders Johan Lexell; 24 декабря 1740(17401224)—11 декабря (30 ноября) 1784) — русский астроном, математик и физик шведского происхождения, проведший в России большую часть жизни.
Крамп, Кристиан
Кристиа́н (Кретье́н) Крамп (фр. Christian Kramp, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение n! для факториала.
Архимед и его законы
Несомненно, Архимед (около 287—212 до н. э.) — самый гениальный учёный Древней Греции. Он стоит в одном ряду с Ньютоном, Гауссом, Эйлером, Лобачевским и другими величайшими математиками всех времён. Его труды посвящены не только математике. Он сделал замечательные открытия в механике, хорошо знал астрономию, оптику, гидравлику и был поистине легендарной личностью.
Шуберт, Фёдор Иванович
Фёдор Иванович (Фридрих Теодор) Шуберт (нем. Friedrich Theodor von Schubert; 1758—1825) — русский математик, астроном, геодезист и популяризатор науки немецкого происхождения.
Нильс Хенрик Давид Бор
Нильс Бор - выдающийся датский физик, лауреат Нобелевской премии. Его научные работы, в основном, относятся к теоретической физике, но благодаря им появились новые направления развития химии.
Луи де Бройль
Луи де Бройль, один из создателей квантовой механики - всемирно известный ученый, чьи работы в области теоретической физики, а также выдающийся литературный талант глубоко изменили современную физику.
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон - великий английский физик, механик, астроном и математик. Высокое признание получили работы Ньютона, в которых он заложил основы научного понимания законов мироздания взамен фантастических домыслов религии.
Виктор Садовничий
Доктор физико-математических наук, профессор, Член-корреспондент РАН, Действительный член Академии творчества, ректор МГУ им. М.В. Ломоносова.