Реферат
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ, АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ, ФАЗОВАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ, РЕГУЛЯТОР.
Целью работы является проведение динамического расчёта САР частоты вращения по методике изложенной в учебном пособии № 2873.
Динамический расчёт САР частоты вращения двигателя внутреннего сгорания состоит из следующих этапов:
- разработка математической модели САР;
- расчёт коэффициентов дифференциальных уравнений;
- расчёт переходных процессов;
- анализ устойчивости САР;
- расчёт частотных характеристик;
- оценка устойчивости по диаграмме профессора Вышнеградского.
Содержание
Введение ……………………………………………………………………….. 4
Математическая модель САР ДВС ……………………………………. 5
Определение коэффициентов дифференциального уравнения САР ... 6
Расчет переходных процессов САР частоты вращения ДВС по вырожденному уравнению …………………………………………….. 7
Анализ устойчивости работы САР частоты вращения ДВС по интегралу вырожденного дифференциального уравнения ………….................... 9
Расчет частотных характеристик САР ДВС ………………………….. 10
Анализ устойчивости САР ДВС по диаграмме профессора
И. А. Вышнеградского ……………………………………………….... 12
Заключение ……………………………………………………………………. 14
Список использованных источников ………………………………………... 15
Введение
Дизельные двигатели, в отличие от бензиновых, имеют склонность к разносу, что объясняется особенностью их топливоподачи (дросселирования топлива при его отсечке в конце впрыскивания приводит к чрезмерному увеличению цикловой подачи при увеличении частоты вращения).
Автоматический регулятор защищает двигатель от разноса , однако, этим не исчерпываются его функции. Регулятор, кроме того, выполняет большое количество дополнительных функций :
- автоматическое формирование скоростной характеристики цикловой подачи топлива для облегчения пуска в условиях низких температур (зимой);
- формирование внешней скоростной характеристики с регламентированным обеспечением координат паспортных режимов двигателя;
- автоматическое изменение максимальной подачи топлива в зависимости от давления надувочного воздуха;
- автоматическое ограничение подачи топлива при значительном изменении атмосферного давления (горный корректор);
- ограничение подачи топлива для уменьшения содержания сажи в отработавших газах (противодымный корректор);
- и другие функции.
1. Математическая модель САР ДВС
Рисунок 1 – Структурная схема математической модели САР дизеля
где, η – относительная координата муфты (η=∆z/zп);
λ – относительная координата рейки насоса (λ=∆h/hп);
φ – относительная координата частоты вращения (φ=∆φР/hР);
αР - относительная координата настройки регулятора;
αН - относительная координата настройки нагрузки;
W1P=-KΨdрp- передаточная функция регулятора по настройке αP;
W2P=KРdрp – передаточная функция регулятора по регулируемой координате φ;
W3P=KDdDp – передаточная функция ДВС по координате рейки;
W4P=-KНdDp – передаточная функция двигателя по координате настройки.
2. Определение коэффициентов дифференциального уравнения САР
Примем значения: Iд=4 кг∙м2;
μ=3 кг.
По заданию имеем величину фактора торможения регулятора υ=7500 Н∙см;
Фактор устойчивости двигателя на разных режимах может находиться в пределах от -0,5 до -2,5 Н∙см; приму его равным - 1,5 Н∙см.
Фактор устойчивости регулятора Fp=9000 Н∙см.
Формулы для расчёта коэффициентов двигателя и регулятора:
Kp=2∙Р/Zп;
Kд≈Mн/ωд=Mн/π∙nд∙30=9,55∙Mн/nд;
их конкретные значения зависят от конкретного задания, можно лишь ориентировочно определить их порядок, но это лучше сделать в их произведении.
KpKд≈19,1∙P/zп∙Mн/nд;
Допустим: Zп=0,008 м; P=600 Н; Mн=500Н∙м; nд=2100 мин-1;
KpKд=19,1*600*500/(8∙10-3∙2100)=34,1∙104 Н2∙с;
Сравним значения коэффициентов А3, А2, А1,А0:
А3=3∙4=0,12∙102;
А2=4∙7500+3∙(-1,5)=299,95∙102;
А1=4∙9000+7500∙(-1,5)=247,5∙102;
А0=34,1∙104+9000∙(-1,5)=3275∙102 .
Сравнение этих значений показывает, что влияние коэффициента А3 не может быть значительным, поэтому уместно принять μ≈0; тогда
А2'=I∙ υ; А1 и А0 без изменений. Порядок уравнения САР понижается до второго и тогда оно называется вырожденным уравнением САР ДВС.
А2'∙φ+А1∙φ+А0∙φ=KдKΨαр;
При αр=0 получаем А2'∙φ+А1∙φ+А0∙φ=0;
Использование выражений позволяет получить:
1,21∙dφ/dt2+dφ/dt+13,23∙φ=0
3. Расчёт свободных переходных процессов САР частоты вращения ДВС по вырожденному уравнению. Расчёт свободного переходного процесса
Расчёт САР производится по уравнению:
А2'∙φ+А1∙φ+А0∙φ=0
При начальных условиях: t=0; φ=φ0; dφ/dt=0.
Изменение φ во времени после момента t=0 и является свободным переходным процессом, т.е. с помощью уравнения и упомянутых начальных условий нужно найти функцию φ=f(t).
Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
φ=C1∙eP1∙t+C2∙eP2∙t;
где, P1, P2- корни характеристического уравнения А2'∙P2+А1∙P+А0=0.
C1, C2- постоянные интегрирования (зависят от этих корней и начальных
условий).
При таком решении могут быть 2 случая:
А). P1, P2<0, тогда выражение представляет собой сумму двух
убывающих экспонент;
Б). P1, P2 =α±i∙β, тогда выражение представляет сумму косинусоиды и синусоиды.
φ=φ0∙eα∙t(cosβ∙t-α/β∙sinβ∙t)
где α=-А1/2∙А2'=-1/2∙(FP/ϑ+Fd/I); β=√А0/А2'-(А1/2∙А2')2.
Вернёмся к ранее полученному уравнению:
1,21∙dφdt2+dφdt+13,23∙φ=0
Произведём его решение:
А2'∙P2+А1∙P+А0=0
P1, P2=-0,41 ± 3,28 i
Получается второй случай, т.е. P1, P2=α±i∙β
где, α= - 0,41;
β=3,28.
Причём β является угловой частотой колебаний, выражаемой в рад/с.
Период таких колебаний вычисляется по формуле:
T=2∙π/β=2∙3,14/3,28=1,91
Весь переходный процесс описывается уравнением:
φ=φ0∙e-0,41∙t∙(cos3,28∙t+0,125∙sin3,28∙t)
Поскольку амплитудная часть синусоиды имеет пренебрежимо малое значение, всю синусоиду можно не учитывать и тогда график φ=f(t) будет выражен лишь одной затухающей косинусоидой:
φ=φ0∙e-0,41t∙(cos3,28∙t)
А в качестве начального отклонения удобно взять φ0=1 и тогда
φ=e-0,41∙t∙(cos3,28∙t)
Для рисунка 2: tп- время переходного процесса, равно 9,6 с.
4. Анализ устойчивости работы САР частоты вращения ДВС по интегралу вырожденного дифференциального уравнения
Амплитудная часть функции имеет вид: φ=φ0∙eα∙t.
Чтобы САР была устойчивой, необходимо: α=-1/2∙(FP/υ +Fd/I)<0.
Два условия, при которых выполняется это неравенство:
FP/υ +Fd/I>0 или ﺍ Fp/υ ﺍ > ﺍ Fd/I ﺍ
В противном случае α>0, и СПП станет расходящимся.
Если неравенство не выполняется, то следует:
- уменьшить трение в регуляторе (υ↓);
- увеличить жёсткость пружины (FP↑).
Но увеличение фактора устойчивости регулятора приводит повышению степени неравномерности, т.е. к увеличению максимальной частоты вращения холостого хода, следовательно приводит к увеличению инерционных сил в КШМ и МГР двигателя.
Для нормальной же работы ДВС необходимо, чтобы его СПП имел строго определённое время затухания tп , в частности для автомобильных дизелей:
tп ≤6 с.
Время свободного переходного процесса зависит от зоны допустимых отклонений ∆φ=ξ∙φ0 (ξ<1);
φi=φ0∙eα∙t ≤ ξ∙φ0 или eα∙tп≤ξ
После логорифмирования имеем:
α∙tп≤lnξ → tп≥6/(Fp/υ +Fd/I)
Полученное выражение можно использовать и для динамического синтеза САР, если СПП имеет неудовлетворительные характеристики.
5. Расчёт частотных характеристик САР ДВС
Если к рычагу управления приложен периодический сигнал с частотой “к”, то колебания регулировочной координаты можно вычислить по формуле:
φ=А(k)∙cos(k∙t+γ(k))
где Аk=KΨ∙KD∙αP0∙Rk-амплитудная частотная характеристика;
γk-фазовая частотная характеристика.
В ТАР амплитудно-частотная характеристика имеет вид:
λ=А/А(k=0)=А0/(А0-k2∙А22+k2∙A12)
Частота при которой возможен резонанс определится следующим образом:
KP=√А0/A2'= 3,3 Гц.
Фазовая частотная характеристика:
γ=arctg(-k∙А1/(А0-k2∙А2)
Вычислим значения λ и γ в зависимости от k и вносим в таблицу 1.
Таблица 1 – К расчёту частотных характеристик.
f, Гц | 0 | 0,1044 | 0,2087 | 0,3131 | 0,4174 | 0,5218 | 0,6262 | 0,7305 | 0,8349 | 0,9392 |
к, рад/с | 0 | 0,6557 | 1,3114 | 1,9671 | 2,6228 | 3,2786 | 3,9343 | 4,59 | 5,2457 | 5,9014 |
| 1 | 1,0396 | 1,1788 | 1,5094 | 2,3826 | 4,0289 | 1,951 | 1,008 | 0,6366 | 0,4475 |
| 0 | -0,0515 | -0,1171 | -0,2263 | -0,4917 | -1,508 | -2,5229 | -2,7845 | -2,8865 | -2,9407 |
f, Гц | 1,0436 | 1,148 | 1,2523 | 1,3567 | 1,461 | 1,5654 | 1,6698 | 1,7741 | 1,8785 | 1,9828 |
к, рад/с | 6,5571 | 7,2128 | 7,8685 | 8,5242 | 9,1799 | 9,8357 | 10,4914 | 11,1471 | 11,8028 | 12,4585 |
| 0,3357 | 0,2629 | 0,2124 | 0,1757 | 0,1481 | 0,1267 | 0,1097 | 0,096 | 0,0848 | 0,0755 |
| -2,9745 | -2,9978 | -3,015 | -3,0282 | -3,0387 | -3,0473 | -3,0545 | -3,0606 | -3,0659 | -3,0705 |
Проверим полученную λ=4,029 при частоте, на которой возможен резонанс по формуле:
λ'=-1/2∙(β/α+α/β)=4,037
Получилась погрешность: 0,2% , что свидетельствует о верности проводимого расчёта.
Рисунок 3 – Амплитудная частотная характеристика САР.
Рисунок 4 – Фазовая частотная характеристика САР.
6. Анализ устойчивости САР ДВС по диаграмме профессора
И.А. Вышнеградского
φ+X∙φ+Y∙φ+φ=0
где X, Y – коэффициенты подобия переходных процессов.
Используя формулы этих коэффициентов, получим:
X=(I∙υ+Fd∙μ)/√(Kd∙Kp+Fд∙Fр)2∙I2∙μ2;
X=83;
Y=I∙Fр+Fд∙υ/√(Kд∙Kр+Fд∙Fр)2∙I∙μ;
Y=2,27.
Определим область нахождения точки на диаграмме профессора Вышнеградского, по полученным координатам X,Y.
Полученная точка находится в области II – колебательно сходящихся процессов.
Рисунок 5 – Диаграмма профессора И.А. Вышнеградского.
I – область апериодический сходящихся процессов (все корни действительные отрицательные числа);
II – область колебательного сходящихся процессов;
III - область колебательного расходящихся процессов (один корень – отрицательный, а два другие, выражены комплексным числом, у которого действительная часть больше нуля).
Заключение
Расчёт показал, что процесс колебаний носит затухающий характер, что свидетельствует об устойчивой работе регулятора. Были построены графики амплитудной и фазовой частотных характеристик САР. Анализ устойчивости, позволил сделать вывод об устойчивости рассчитываемой САР. Анализ устойчивости по диаграмме Вышнеградского , показал, что система так же устойчива.
Список использованных источников
1. Блаженнов Е.И.Автоматическое регулирование и управление автомобильных дизелей (элементы теории и расчёт): Учебное пособие. – Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2010, - 122 с.