1,2 Элементы кинематики М Т Ур-е движ. , скорости.
Матерьяльной точкой называют тело, размерами и формам которого в данной задаче можно пренебреч. Любой вектор можно разложить по базису: r =i x+j y+k z модуль вектора
/r /=Öx2 +y2 +z2 . Положение мат точки опр. r =r (t) или x(t) y(t) z(t) Траектория-совокупность последовательных положений мат. точки в пространстве при ее движении. Сумма длин всех участков траектории пройденного за промежуток времени – длина пути. Средняя скорость за пром времени V ср =êr / êt Средняя путевая скорость vср =êS/êt. Скоростью ( мгновенной скоростью)-
v = limê t -0 v ср = limê t -0 êr /êt =dr /dtv -производная радиуса- вектора по времени.Определение пройденого пути S= интеграл t до t0 vdt равномерное прямолинейное дв. S=vt си 1 м/с.
1.3 Ускорение матерьяльной точки Нормальное и тангациональное уск. Радиус кривизны траектории.
Средним ускорением точки в интервале времени t2 -t1 =êt наз. Вектор а ср равный отношению вектора изменения скорости êv =v 2 -v 1 к промежутку вр. êt за кот изменение произошло а ср =êv /êt Мгновенным ускорение наз предел среднего уск при êt-0 а = limê t -0 а ср = limê t -0 êv /êt=dv /dt= d2 r /dt2 a = limê t -0 dv 1 /dt + limê t -0 dv 2 /dt= at +an at танганцион. Изменение скорости по
величине, напрвлен по касательной тр. ан нормальное изменен. Скорости по направлению. Направлен по радиусу кривизны.a t =dv/dta n =v2 /RCi 1 m*c-2
1.4 Закон динамики Ньютона
Свойство всех тел сохранять неизмениым свое движение при отсутствии внешнего воздействия и стремиться сохранять сост движения наз. Инерцией. ПЕРВЫЙ ЗАКОНлюбое тело нах в сост покоя или равн. Движения пока внешнее силы не вызовут измене-
ние этого состояния. Масса – физ. Характеристика материи, явля-
ющейся выражением и мерой одновремено гравитационых свойств материи и ее инерционых свойств.
F=G*m1 m2 /r2 (грав. Масса) Инерционая масса F =ma cи=1кг
1.5 Основной закон динамики материальной точки.
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механиче-ского взаимодействия материальных тел K =mv Изменение количества дв. Равно импульсу действующей силы и происходит в напривле-
нии действия силы. DK =F dt. F =dK /dt= d(mv )/dt cu- 1kg*m/c2
1.6 Внешние и внутрение силы . 3 закон Ньютона.
Действию всегда есть равное и против- ное противодействие, иначе взаимодействие двух тел равны между собой и напр. в противоположеные стороны.В лю- бой механической системе сумма всех внутрених тел = 0 Пусть на каждую мат точку действуют внутрение силы взаимодействия и внешние силы. åd(mi v i )/dt=åF i вн +åF i вну åd(mi v i )/dt=dåmi v i /dt= dK /dt изменен. Импульса системы K =åmi v i Закон измен импульс сист dK /dt=F внеш
1.7 Поступательное движение твердого тела. Центр масс мех. Системы и закон его движения.
Абсолютно твердое тело- деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Растояние точек при движении не изменяется и скорость их одинак. Центром инерции (масс) системы мат точек, радиус вектор R c =åmi r i /mCкорость центра инерции vc =dr c /dt=1/mdåmi r i /dt=1/måd(mi r ) i /dt=1/måmi v i =K /m
Закон движения центра инерции мех сист. dK /dt=F внеш
dvc /dt=a c Точка приложеная силы тяжести тела (равнодейс силы тяжести всех частиц тела – центр тяжести телаr ц т =1/mgåmgr i =
=1/mgåmi gi r i =gi /mgåmi r i =1/måmi r i =r c (g вектор везде) плотность тела p=dm/dV Тело наз. Однородным если плотность во всех точках одинакова . масса такого тела m=pV неоднорд m=(интег по V )pdV средней плотностью неоднор тел=а p =m/V
1.8 Закон сохранения импульса и его связь с однор прос
Для замкнутой системы главный вектор F внеш =0 и K =åmi vi = const При любых процессах происходящих в замкну-той системе, скорость ее центра инерции не измен.V c =cons
1.9 a Движение тела переменой массы ( ур Мещерского)
Нач момент t. Ракета имела массу M скоростьv нач импул.
K =Mv . За пром времени dt отделилась масса dM со скор С
Отн ракеты в результ. M-dMc +dv и импульс ракеты стал
K 2 =(M-dM)(v +dv )=Mv +Mdv -v dM-Mdv =Mv +Mdv -v dM
Импульс отработаных газов K 3 =dM(v +c ) сумма K 4 =K 2 +K 3
Изменение импульса dK =K 4 -K 1 =Mdv +c dM=F dt
M(dv /dt)=F -mc – ур описывающее движение тела переменой массы – ур Мещерского. mc – реактивная сила знак «-« озн. направлен Противоп. Вектору скорости.
1.9 b Абсолютно неупругий удар шаров.
Столкновение тел при котором за весьма малый промежут. Времени происходит значит измен скоростей тел наз- удар
Удар наз абсол неупругим если после удара теле движутся как одно целое. При ударе двух шаров массы m1 m2 ск.v1 v2
Зак сохр импульса m1 v 1 +m2 v 2 =(m1 +m2 )u u = m1 v 1 +m2 v 2 /
/m1 +m2 если скор. После удара u=0 то мех движ перешло в тепловое хаотическое дв молекул ( шары нагрелись )
1,10 Энергия как универ мера различ форм дв материи
Энергия –универс мера движен материи во всех ее формах
Энерг делится : механическую, внутр (тепловую) электро-
мгнитную, ядерную. Любое тело обл запасом энергиим, она обл свойством адитивности, энегрия системы есть функция состояния. Величины характ количествено мате-рию – масса и движение – энергия , взаимо связ законом E=mc2 c скорость света в вакуме.
1,11 Работа силы.
Процесс изм энергии под действием сил наз процессом совершения работы. Работа, совершоная системой в любом процессе – мера изм энергии в этом процессе. Совершонн. Работа есть форма передачи энергии.dА=F dr =Fv dt в скаля форме dA=FdScosa = Fz dSdS-длина пути а-угол между F и dr Fz =Fcosa – проекц силы на направление перемещен. Если
F, dA >0 сила движущая , <0 –тормозящая. Работа внутри сил твердого тела = 0. Поступат движение твердого тела dA=F внеш dr c =F внеш v c dt =v c dK =vc d ( mv c ) Работа совершоная на конечном участке L точки приложения силы F выражается криволинейным интегралом A=интегр по LF dr =интегр по LFt dS Силы, работа кот зависит только от нач. и конеч точек их положения и не зависит от законов их движения по траектории назыв. Тангециальным. Работа потен силы приперемещении точки в доль замкнутой траектории = 0.
круг интегралFt dS=0 Поле сил наз стационарны. Если ¶F / ¶t=0 Диссипативные силы-суммарная работа при любых перемещениях всегда отрицательна (трение,скольжение, сопрот.) Гироскопические, силы зависящие от скорости мат точки, на которую они действ. И направ перепндикулярно этой скорости ( сила Лоренца) Их работа всегда = 0 . Работа постояной силы на пути S. A=FScosa, при а =0 A=FS. CИ-1Дж.Характеристика работы: мгновеная мощность – скаляр-ная физич велич N=dA/dt=F dr /dt=Fv = Ft vN=A/t 1Дж/1с=1Вт
1.12 Кинетиче энергия и ее связь с работ внеш внут сил
Кинетическая энергия тела- наз энерги механич движения под дейст силы F – dEk =dA=vdK =v dK =v d(mv ) В Нютон мех m=constEk =mv2 /2=Ek (v ) Работа переменой силы
А= интегр от mv2 поmv1 vd(mv )= mv2 2 /2- mv2 1 /2=
=Ek 2 -Ek 1 =êEk Кинетич энерг тела Ek =1/2интегр по mv2 dm= ½ интегр по Vpv2 dVТ-ма Кенига К Э мех системы = сумме К Э, которую бы имела мат точка облад массой всей системы , и движуйся со скоростью ее цетра инерции и К Э той же системы в ее движении относ поступательног движения системы отсчета с началом в центре инерции . Ek =mvc 2 /2+E1 k . E1 k -КЭ сист в сис отсчета S1 движуйщейся относит S и v =v c
1.13 Поле как форма материи, осущ силов вз меж част веществ
Физ поле – сист обладающие бсконечно больш. числом степеней свободы. - число независимых кординат которые надо задать для опредиления системы в пространстве.
1.14 Потенциальная эн-я мат точки и ее связь с силой.
Потенциальная Эн – взаимодействия различных частей одной сист
Работа = уменьшению энергии в этом процессе А=-ÎEp =Ep 1 -Ep 2 Работа потен сил при бескончно малом измен конфи сист dА=-dEp
Работа внеш сил идет на увеличение потен эн системы dАвнеш =dEp
Градиент – обьемная производная скалярного поля ( поверхн уров-ня) скорость изм функции u в направ к нормали n к поверх уровня в этой точке gradu = ¶u/¶n , gradu=limV -0 f инт un dS/V интегр по замкн S охват обьем V. В задачах используется Ep =mgh
1.15 Потенц эн сист, мат точки в поле централных сил напряж .
На мат точку действуют разн силы F проход через центр. И завис только от растояния F =Fr (r)r /r Если мат точка m притягив к центру сил М, то Fr (r)<0, оталкив >0. При перемещении мат точки m из 1 в бесконечность ( поле отсут) Внеш силы выпол работу кот идет на увел потен. Эн. Сист dEp =dAвнеш =F dr =Fr dr=dEp Þинтег от ¥ по VFr (r)dr=Ep -Ep (¥) полагают Ep (¥)=0 тогда Ep =- интег от ¥ по VFr (r)dr.
Потенц силы соверш работу dA=-dEp =F dr
1,16 Закон сохран мех эн. И его связь с однородностью времени
Мех. Эн - энерг мех движения и взаимодействия. E=EK +Ep Мехэн. Замкнутой сист не измен с течением времени, если все внут. силы действ этой системы потенциальны (тяжест, упруг) Измен энерг сист при взаимодействии с внеш телами = энерг получен от внешн тел. Состояние из кот сист вывод в резул внеш воздейст – сост мех равновесия системы.
1.17 Удар абсолютно неупругих и упругих тел.
Удар – столкн тел при кот за мал промеж времени происх. Значит измен скоростей тел. Если скор тел напр паралейно – удар прямой. Закон сохр импульса u=m1 v1 +m2 v2 /m1 +m2 . Не упруг удар, до удара E1 =m1 v1 2 /2+ m2 v2 2 /2+Ep 1 после удара E2 =(m1 v1 +m2 v2 )2 /2(m1 +m2 )+Ep 2
Изм энерг - ÎE=E2 -E1 <0 мех эн умен пошла на деформ шаров.
b) 2 тело до удара покой. -ÎE/E1 =m2 /m1 +m2 2) Абсолютно уп удар.
- если мех энер системы не изменяется v = 2m1 v1 +(m2 -m1 )v2 /m1 +m2 для второго тела также.
1.18 Вращательное движение Угловые скор. и ускор. Связь с линейной скоростью и ускорением точек вращающегося тела.
Движение твердого тела при 2 неподвыжных точках наз вращател.
2 точки – ось вращения. Угл скор.- w=dj/dt вектор w =dj /dt при равномерн. w=j/t СИ – 1с-1 растояние dS=vdt скорость v=wR век v =w *R Число оборот за ед времени – частота вращения n=1/Т=1гц При равн-ном вращении w=2p/Т=2pn Неравномерное вращение – угловое ускорение e =dw /dt = d2 j /dt2 Если движ ускор то вектора - w e если замедл w e ¯ Если равнопеременое вращение e=constw=w0 +et , j=w0 t+et2 /2 , /e/=1рад/с2 =с-2 , at =dv/dt=dw/dt*R=eRan =v2 /R=w2 R2 /R=w2 R , a=Öe2 R2 +w4 R2 =RÖe2 +w4
1.19 Момент силы и момент импульс мех сист Ур дин вращ дв
Для характ. Внеш мех воздействия на тело, привод к измен вращат движения – момент силы . – F отност неподв точки 0 (полюса) – вект величина М = векторному произв радиуса вектора r проведе-ного из точки 0 в точку прилож силы В на вектор силы F , M =r *F
Модуль момента сил М=r F sin a = Frsina =Fl, l – длина перепе- ндикуляра опущеного из 0 на линию силы F Си М=1Н*м Главн момент сил М =år i *F i . Момент импульса мат точки отн непод Т. 0
L i =r i *K i =r i *mi v i =R i *mi v i +r i *mi v i В СИ L=1кг*м2 /с Для мат точки Li =å r i *mi v i Главн момент внеш сил М =åМ i =dL /dt Момент инерции тела – мера инертности тела во вращат движ во круг
неподвижной оси. J=mR2
1.20 Вычис моментов инерции для однород тел простой геом ф
Момент инер мат точки бескон мал массы отн оси вращ dJ=dm*R2
Момент инер тела Jz =интегр по mR2 dm= интегр по vpR2 dV
Т-ма Штейнера : Момент инерции относ любой оси = моменту инеции этого тела относит оси проход через центр масс тела паралейно расматриваемой оси + произв массы тела на квадрат растояния между ними J=J0 +mb2 Момент инерции целиндра : радиус R масса m высота h , выделим кольцо dr площадь кольца dS=2prdr , обьем трубы dv=2prhdr , масса dm=p2 prhdr . Мом инерции – J=2pph интегр от R по 0 r3 = ½ pphR4 =1/2 mR2
1.21 Кинет энерг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Теорема НЕТЕР
Кинет энерг тела движ произвольным оьразом = сумме всех мат точек , на кот тело можно разбить. EK =½ åmi vi Тело вращ вокруг не подв оси EK =Jz w2 /2 Работа точки dAi =Jiz wdw тела dA=Jz wdw Полная работа A=интегр от w2 по w1 Jz wdw Поступ движ твердого тела со скоростью его центра инерции v c . – d(mv c )/dt=F внеш Вращат твердого тела вокруг центра инерц dLc /dt=M с внеш – глав момент внеш сил относ точки С, Lc - момент ипульса тела отн точк Кинет энер свобод твер тела т-ма Кенига Ек =mvc 2 /2+Jc w2 /2 Момент импульса замкн сист тел отн любой неподвиж точки постоянен во времени. Для замкн системы (Мz =0) закон сохр момента импульса отн оси вращ åLiz =åJiz wI =constТ-ма Э.Нетер Для физич сис-мы, ур-е движения которой имеют форму системы дифференцирова- ных ур-й и могут быть получены из вариционого принцыпа меха-ники, каждому непрер зависящему от одного параметра преобра-зованию ост-щим инвариантным действие S, соотв закон сохран.
1,2 Элементы кинематики М Т Ур-е движ. , скорости.
1.3 Ускорение матерьяльной точки Нормальное и тангациональное ускорение. Радиус кривизны траектории.
1.4 Закон динамики Ньютона
1.5 Основной закон динамики материальной точки. II зак Ньютона
1.6 Внешние и внутрение силы . 3 закон Ньютона.
1.7 Поступательное движение твердого тела. Центр масс механи- ческой. Системы и закон его движения.
1.8 Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства
1.9 a Движение тела переменой массы ( ур Мещерского)
1.9 b Абсолютно неупругий удар шаров.
1,10 Энергия как универ мера различных форм движен материи
1,11 Работа силы. (вторая сторона)**************
1.12 Кинетиче энергия и ее связь с работ внеш внут сил
1.13 Поле как форма материи, осущ силовое взаимодействие между частицами вещества
1.14 Потенциальная эн-я мат точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой. Действущей на матерьяльную точку
1.15 Потенц энерг системы, мат точки в поле централных сил потенциал и напряжонность поля
1,16 Закон сохран мех эн. И его связь с однородностью времени
закон сохранения и превращени энергии как проявление неуничтожимости материи и ее материи
1.17 Удар абсолютно неупругих и упругих тел.
1.18 Вращательное движение Угловые скор. и ускор. Связь с линейной скоростью и ускорением точек вращающегося тела.
**********ВтораЯ шпора ************
1.19 Момент силы и момент импульс мех сист Момент импульса тела относит неподв оси вращения. Момент инерции относительно оси . Уравн ддинамики вращательного движения
1.20 Вычис моментов инерции для однород тел простой геом форм
1.21 Кинет энерг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Теорема НЕТЕР