РЕФЕРАТ
на тему:
Параметричний резонанс
Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0 коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0= = a cos t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює
lz = — m0 = m2a cos t.
Потенціал цієї сили виражається формулою
U = —lzz = —mla2 cos cos,
де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд
L = + mgl cos + mla2cos t cos,
а рівняння Лагранжа
Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння
де = g/l.
Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:
Параметром, що залежить від часу, тут є частота
Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.
Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу
(t + Т) = (t)
з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t — Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,
1 (t + T)= а111 (t) + а122 (t),
2 (t + T) = а211 (t) + a222 (t).
Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій 1 (t + T) і 2 (t + T) дійсний, то 1 (t + T) і 2 (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а11 в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції 1 (t + T) і 2 (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник
то а11=, а
1 (t + T) = 1 (t) + а122(t + T) =[a211 (t) +a222 (t)] = 2 (t + T)
що означає лінійну залежність функцій 1 (t + T) і 2 (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні t на t + Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай 1 (t) і 2 (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:
’ (t + T)
Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності
Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'язок якої існує, якщо
Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини : 1 і 2, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = 1 , знаходимо Тоді із співвідношення
1’ (t + T)
Аналогічно для = 2, маємо
2’ (t + T)
Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зводилась до множення на сталий множник:
1’ (t + T), 2’ (t + T)
Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом
1’ (t + T), 2’ (t + T)
Формули можна записати тотожно так:
;
Звідси випливає, що функції
П1(t) = ; П2(t) =
є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд
1 (t + T), 2’ (t + T),
Сталі 1 і 2, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції 1 і 2,
;
відповідно на 1 і 2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо
звідки випливає, що вираз l (t) = = const не залежить від часу. Тому l (t + Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = 1 (t +T) 2 (t + T) = 1 2l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то
1 2=1
Оскільки коефіцієнти визначника аіj дійсні, то величини 1 і 2, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо 1 = еzT , 2 = е-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.
Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом (t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):
1 (t + T), 2’ (t + T),
Тут П1 (t) і П2 (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є
П (t) =
Якщо Re z 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.
Другие работы по теме:
Вимушені механічні й електромагнітні коливання
Методика складання диференціального рівняння вимушених коливань. Амплітуда та фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Сутність і умови створення резонансу напруг у електричному ланцюзі. Резонансні криві та параметричний резонанс.
Явление резонанса
Демонстрация затухающих и вынужденных механических колебаний. При изучении механического резонанса в курсе общей физики используются демонстрационные опыты, суть которых состоит, как правило, в наблюдении вынужденных колебаний пружинного маят-ника. Однако, получить устойчивые колебания такого маятника в ин-тересующем интервале частот довольно трудно.
Резонансные явления в простейших электрических цепях
Исследование асинхронного трехфазного двигателя с фазным ротором. Схема последовательного и параллельного соединения элементов для исследования резонанса напряжений. Резонанс напряжений, токов. Зависимость тока от емкости при резонансе напряжений.
Духовное и языческое восприятие мира
Что такое духовность? Чем отличается человек верующий от человека религиозного? Внешние или социальные критерии едва ли дадут ответ на этот вопрос.
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов В 1978 г. нами была опубликована работа «Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...), см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от резонансного значения nT в %.
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
Явление магнитного резонанса используется для обнаружения и измерения эШарль Луи Монтескье: французское просветительствоектрических и магнитных взаимодействий электронов и ядер в макроскопических количествах вещества.
Вешние воды русской живописи
Вешние воды русского искусства. Почти 130 лет назад (в декабре 1871 года), из Петербурга отправилась в путь по России первая передвижная выставка. Это событие вызвало большой общественный резонанс. Передвижники - художники-реалисты – порвали с академизмом и как бы поставили зрителя лицом к лицу с Россией.
Махмуд Асгари и Айаз Мархони
Введение 1 Приговор 2 Международная реакция 3 Акции памяти год спустя Список литературы Введение Махму́д Асгари́ (перс. محمود عسگري, р. 1989?) и Ая́з Мархони́ (перс. عياض مرهوني, р. 1987?) — подростки из иранской провинции Хузестан, казнь которых вызвала серьёзный общественный резонанс в мире.
Сражение за высоту Гамбургер
Введение 1 Долина А-Шау 2 Сражение 3 Последствия 4 Фильм Список литературы Введение Сражение за высоту «Гамбургер» — сражение между американской и северовьетнамской армиями в 1969 году во время войны во Вьетнаме, получившее неожиданно большой резонанс в американских политических кругах и в обществе.
Генерал Бельграно крейсер
Введение 1 История 2 Фолклендская война 3 Жертвы 4 Резонанс 5 Историческое значение Список литературы Введение «Генерал Бельграно» (исп. General Belgrano) — крейсер военно-морских сил Аргентины, потопленный в мае 1982 года британской подводной лодкой в ходе Фолклендской войны. Потопление крейсера вызвало широкий международный резонанс и стало самым известным эпизодом этого военного конфликта.
Второе Тетское наступление
(иногда упоминается как Второй Тет, Новогоднее наступление 1969 года, Тетское наступление 1969 года) — серия военных операций, проведённых северовьетнамской армией во время войны во Вьетнаме.
Агрест, Матест Менделевич
Введение 1 Биография 2 Теория древних космонавтов 3 Список произведений Введение Матес (Матест) Менделевич Агрест (20 июля 1915, Княжицы под Могилёвом — 20 сентября 2005, Чарльстон, штат Южная Каролина, США) — математик, известный также как основатель теории палеовизитов.
Круг общественно-политический термин
- как общественно-политический термин служил у Казаков обозначением народного собрания. По актам известны Круги Валовые, Круги Войсковые, Круги Полковые. Круги решали все общественные дела, требовавшие выявления воли народа.
Пуч Антик, Сальвадор
План Введение 1 Биография 2 Память Список литературы Введение Сальвадор Пуч Антик (кат. Salvador Puig Antich, 30 мая 1948 — 2 марта 1974) — испанский (каталонец) анархист и антифашист, член Иберийского движения освобождения. Его казнь с помощью гарроты по приговору франкистского режима вызвала сильный международный резонанс, после чего Франко пришлось отказаться от такой формы казни.
Бомбардировка Герники
План Введение 1 Причины и осуществление 2 Жертвы и последствия 3 Резонанс Список литературы Введение Бомбардировка Герники — воздушный налёт немецкого «Легиона Кондор» на город Герни́ка в ходе гражданской войны в Испании 26 апреля 1937 года.
Антикайнен, Тойво
То́йво А́нтикайнен (фин. Toivo Antikainen; 8 июня 1898 — 4 октября 1941) — финский интернационалист, один из организаторов и руководителей Коммунистической партии Финляндии, активный участник Гражданской войны в России.
Де ла Гуссе, Абрахам Николя Амелот
Абрахам Николя Амелот де ла Гуссе (англ. Nicolas Amelot de La Houssaye; 1634 – 1706) — французский публицист XVII - XVIII веков. Биография Абрахам Николя Амелот де ла Гуссе родился в городе Орлеане (департамент Луаре) в феврале 1634 года.
Параметричний тест Гольдфельда-Квандта
Коли сукупність спостережень невелика, то розглянути вище метод не застосовний. У такому разі Гольдфельд і Квант запропонували розглянути випадок, коли М (ии’)=
Оцінка точності при параметричному методі врівноваження
Предмет науки геодезії та історія її розвитку. Значення планово-картографічного матеріалу в сільському господарстві. Суть завдання врівноваження геодезичних побудов та їх основні способи. Проведення оцінки точності при параметричному методі врівноваження.
Підсилювачі на НВЧ - транзисторах.
Лекція 31 . Підсилювачі НВЧ відрізняються від звичайних тим, що треба узгодити вхід-вихід та каскади. Наприклад розглянемо еквівалентну схему транзистора АП-326А:
Параметричний підсилювач на НП-діодах
Лекція 29 . . Система генерує , при , якщо ж то система не генерує, проте зовнішній сигнал не підсилюється. - частота накачки. Інший варіант: - сигнал, - холостий,