Первоначальному понятию теории множеств — множеству нельзя дать определения. Его можно только пояснить. Под множеством в дальнейшем мы будем иметь в виду совокупность объектов, которые мы по тем или иным основаниям способны мыслить вместе.
Люди, студенты, звезды, понятия — все эти предметы, мыслимые вместе, образуют множества. Коллектив, созвездие, полк — это тоже множества людей или звезд. Множество может быть задано двояко: 1) при помощи некоторого признака или 2) списком. В предложении — «Студенты Лебединская, Жевако и Цисар могут покинуть аудиторию» — множество задается списком. В предложении — «Студенты, сдавшие контрольную работу, могут покинуть аудиторию» — множество задается при помощи общего признака.
Таким образом, любые объекты, которые мы мыслим вместе и которые мы можем объединить либо списком, либо при помощи общего признака, будут составлять множество.
Об отдельном объекте, из числа тех, что образуют данное множество, мы будем говорить, что этот объект входит в данное множество.
Объект а будем называть элементом множества А, если он входит в множество А.
Множество В будем называть подмножеством множества А, если каждый элемент А в то же время является элементом В.
Множество В будем называть собственным подмножеством множества А, если А — подмножество В и существует хотя бы один элемент В, который не является элементом множества А.
Для обозначения множеств мы будем использовать те же прописные буквы начала латинского алфавита, набранные курсивом, что и для обозначения понятий.
Основанием для этого служит тот факт, что содержание понятия есть признак, по которому можно образовать множество. К тому же из контекста употребления этих обозначений всегда будет ясно, о чем идет речь; о понятии или о множестве.
Для понимания теории понятия нам понадобится некоторое представление о простых операциях с множествами таких, как пересечение, объединение множеств и дополнение к множеству.
Пересечением множеств А и В будем называть множество тех элементов, которые одновременно входят в А и В.
Объединением множеств А и В будем называть множество элементов, которые входят в А или в В.
Так, пересечением множеств студентов и отличников будет множество студентов-отличников, а пересечением множеств греческих богов и кузнецов будет множество, состоящее из единственного элемента — Гефеста. Пересечением множества книг и учебных пособий будет множество учебников.
Объединением множеств газет и журналов будет множество периодических изданий, а объединением множеств четных и нечетных чисел — множество натуральных чисел.
Операции с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, и предполагается, что в этих кругах заключены все элементы данного множества. Такие круги называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонарда Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.
Отдельный элемент будем обозначать точкой в круге, единичное множество — кругом.
Заштрихованная часть — это множество тех элементов, которые одновременно принадлежат множествам А и В.
Заштрихованная часть представляет собой объединение этих множеств, т.е. множество студентов или отличников.
Чтобы ввести еще одну важную операцию с множествами, нам понадобится одно новое понятие. Представим себе множество всех объектов, т.е. такое множество, для которого любое другое множество объектов, кроме его самого, является его собственным подмножеством.
Такое множество U назовем универсальным множеством. Поскольку любое множество А является подмножеством этого множества, то мы для любого множества можем рассмотреть операцию, дополняющую это множество до универсального. Эта операция так и называется — дополнение. Заштрихованная часть представляет собой дополнение А. Символически дополнение будем изображать так - А
Кроме универсального, существует еще одно специальное и единственное множество, которое не содержит ни одного элемента.
Это множество мы назовем пустым, и будем обозначать его
Операции пересечения и объединения могут быть, как в арифметике операции умножения и сложения обобщены на случай более чем двух множеств.
То же самое и для объединения.
Познакомившись с первоначальными понятиями теории множеств, перейдем к объему понятий.
Пусть множество А составляет объем понятия А.
Тогда собственное подмножество В множества А будем называть частью объема понятия А.
Проще говоря, часть объема понятия — это более одного элемента объема понятия, но не все.
Элементом объема понятия будем называть элемент множества, составляющего объем понятия.
Каждый элемент объема понятия имеет все признаки, перечисленные в содержании понятия.
Итак, если вы хотите установить, является ли некоторый предмет элементом объема данного понятия, проверьте, имеет ли он все признаки, которые вы мыслите в (основном) содержании данного понятия. Это правило особенно существенно для понятий типа: коллектив, созвездие, преступная группа, множество, лес и т.п. Обратите внимание, что пользуясь этим правилом, можно объяснить, почему отдельные люди, звезды, преступники, предметы, деревья не являются элементами объема этих понятий, и заодно понять, что же является элементами их объема.
При подготовке этой работы были использованы материалы с сайта studentu
Другие работы по теме:
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Контрольные вопросы по логике
Что изучает логика. Что мы называем истиной и ложью. Когда возникла логика как наука. Зачем нужно изучать логику. Определение понятия. Какие функции выполняют понятия.
Контрольные вопросы по логике
Принципы моделирования. Теоретико-множественные средства моделирования. Средства моделирования логики высказываний. Средства моделирования логики предикатов. Логика научного познания. Доказательство и дедуктивный вывод. Виды индукции. Аналогия.
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Математические методы описания моделей конструкций РЭА
Изучение вопросов применения теории множеств, их отношений и свойств и теории графов, а также математических методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА (радиоэлектронной аппаратуры) и моделирования протекающих в них процессов.
Множества Операции над множествами
РЕФЕРАТ Множества. Операции над множествами СОДЕРЖАНИЕ Способы задания множества Включение и равенство множеств Диаграммы Эйлера-Венна Операции над множествами
Множества и операции над ними
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКОЕ ПРДСТАВИТЕЛЬСТВО ОТКРЫТОГО МЕЖДУНАРОДНОГО УНИВЕРСИТЕТА РАЗВИТИЯ ЧЕЛОВЕКА (УКРАИНА) Реферат
Задачи по Высшей математике
Вариант № 2 Задача 1 Найти объединение и пересечение множеств А и В, если А ={1;3;5} и B={0;1;2;-3;4;-5}. Решение: Объединение множеств А и В А В= {0;1;2;3;5;-3;4;-5},
Дискретная математика
bookfoldsheets0 Федеральное агентство по образованию РФ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» (КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ) Преподаватель: профессор, Архипов Игорь Константинович МНОЖЕСТВА
Три кризиса в развитии математики
РЕЦЕНЗИЯ на дипломную работу студента V курса физико-математического факультета АГПИ Большакова А. А. на тему: “Три кризиса в развитии математики”
Конспект по дискретной математики
Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Счётные множества
Определение счетного множества. Критерий счетного множества. Теоремы характеризующие счётные множества. Объединения счетных множеств. Интересные примеры счётных множеств.
Множества. Операции над множествами
Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности потери в ожесточенном бою одновременно глаза, рук, ноги; выбор возможных вариантов женитьбы; выигрыша, смерти. Расчет максимальной страховой риск компании и не оказаться в убытке.
Размерность конечных упорядоченных множеств
Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
Нечеткая логика
Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
Логические формулы и операции Виды и правила вопросов
Логические операции Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение. Выделяют следующие логические операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.
Возникновение и развитие символической логики
Возникновение и развитие символической логики связано с работами Г.Фреге (1848–1925) и Ч.С.Пирса (1839–1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании.
Критерии типологии библиотек
Типология - синтез общего и особенного, сходства и различия изучаемого объекта. Типологизация библиотек как метод научного познания. Формальные, содержательные и системные признаки. Логическая интеграция элементов знания по изучению системы библиотек.
Множества
Понятие множества в Паскале очень близко к математическому определению: множество - это совокупность однотипных неиндексированных объектов.
Программирование на Турбо Паскале
Правила описания множественных типов данных, приемов использования множеств и операций над множествами в Паскаль-программах. Разработка в Турбо Паскале программы вывода всех согласных букв, которые входят хотя бы в одно слово заданного предложения.
Алгоритмические языки: использование множеств
Изучение способов описания и использования множеств, разработка алгоритма и составление программы для решения задачи. Нахождение в последовательности целых чисел таких, которые встречаются в ней ровно два раза. Набор программы, ее отладка и тестирование.
ЛИСП-реализация основных операций над нечеткими множествами
Рассмотрение методов совершения основных операций (содержания, равенства, пересечения, объединения, разности, произведения, отрицания и дизъюнктивной суммы) над нечеткими множествами, их функциональных моделей и программной реализации решения задачи.
Предмет и структура информатики
Б.В.Соболь Термин информатика получил распространение с середины 80-х гг. прошлого века. Он состоит из корня inform - «информация» и суффикса matics
Геометрические отношения объектов в геодезии
К свойствам объектов геодезии относят также геометрические отношения (связи) между элементами или множествами. Эти отношения принято делить на отображения и преобразования. При отображении происходит переход от одного множества объектов к другому, а при преобразовании – переходы производятся внутри одного множества.
Ляпунов Алексей Андреевич
Ляпунов Алексей Андреевич (1911-73), российский математик, член-корреспондент АН СССР (1964). Автор трудов по теории множеств, математическим вопросам кибернетики, математической лингвистике.
Александров Павел Сергеевич
Начав научную работу в области теории множеств и теории функций действительного переменного, Александров получил ряд замечательных результатов (теорему о мощности борелевых множеств).