О математическом описании многомерных систем Конфигурационное пространство Ознакомившись со свойствами волновых функций и уровней одномерных стационарных систем, мы сделали лишь первый шаг к оформлению математических основ теории химической связи. Далее предстоит рассмотрение стационарных пространственных движений одной частицы. Такие модели реалистичнее передают черты физических явлений, но это связано с усложнением математического аппарата. При переходе к описанию пространственного движения частицы число координат возрастает до трёх, т.е. конфигурационное пространство переменных в этом случае – обычное трёхмерное пространство, соответствующее трём степеням свободы. Геометрические образы волновых функций подобны образам полей, распределенным в объёме. Если же система содержит не одну, а две частицы, то независимых пространственных координат уже шесть, конфигурационное пространство шестимерно. Не следует считать, что это какая-то исключительная ситуация: атом водорода содержит два частицы – ядро и электрон, и эта система полностью описывается с помощью 6 координат. При переходе к N-частичной системе размерность конфигурационного пространства соответственно увеличивается до ЗN. Геометрическая наглядность при анализе волновых функций таких многомерных систем недостижима. Поэтому для химии особенно важны такие модели, которые допускают построение наглядных графических образов. Этому условию отвечает пространственное движение одной частица. 4.1.2. Дифференциальные уравнения в частных производных и метод разделения переменных 4.1.2.1. Многие фундаментальные теоретические модели физики построены с использованием математического аппарата теории дифференциальных уравнений в частных производных. Напомним читателю, что само понятие частной производной восходит к стремлению изучить поведение многомерной функции при изменении лишь одной из независимых переменных без затрагивания прочих. Сложная многомерная проблема как бы разделяется на набор одномерных задач, которые по отдельности намного легче поддаются анализу. Позволим себе сравнить ситуацию с многоголосием в музыкальном произведении: каждая одноголосная партия проста, и её может воспроизвести даже нёискушенный исполнитель, но полифония требует уже изрядной подготовки. 4.1.2.2. Уравнение Шредингера относится к числу дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В принципе оно должно включать все координаты каждой из частиц в качестве аргументов, т.е. соответствующее конфигурационное пространство 3N–мерно. Сложность решения уравнения Шредингера возрастает с увеличением числа переменных, поэтому необходимы физически обоснованные способы упрощения задач такого рода. К счастью, существует очень простой и эффективный прием, называемый методом разделения переменных, который предложен Фурье. Обсудим кратко основы этого метода. 4.1.2.3. Для простоты рассмотрим всего две независимые переменные
и определим в таком конфигурационном пространстве, во-первых, некоторую функцию F или семейство функций и, во-вторых, некоторый линейный оператор
. Этот оператор может содержать в качестве слагаемых и сами переменные, и функции от них, например,
, и операторы частного дифференцирования первого порядка
и
, и второго порядка, включая перекрёстное дифференцирование, т.е.
. Вообще говоря, можно и не ограничиваться вторым порядком дифференцирования, но для наших задач его достаточно. Перед производными в качестве коэффициентов могут быть также функции от переменных х и у. Так что дифференциальное уравнение для семейства функций представится в виде
. (4. I) 4.1.2.4. В самом простом случае для разделения переменных в уравнении (4.1) необходимо, чтобы оператор
допускал группировку всех выражений и действий над каждой из переменных в отдельные слагаемые, например
и
. Вводимые нами символы операторов красноречиво указывают на преобразуемые ими переменные и не требуют дополнительных пояснения. Итак, оператор
должен быть представлен в аддитивной форме
(4.2) Для разделения переменных в дифференциальном уравнении (4.1) искомую функцию F(x,y) следует представить в виде произведения двух сомножителей X(x) и Y(у), каждый из которых является неизвестной функцией лишь одного аргумента:
, (4.3) или
4.1.2.5. Аддитивный характер оператора и мультипликативная структура функции позволяет разделить переменные в дифференциальном уравнении (4.1). Подставив в него (4.2) и (4.3), получим
(4.4) Дальнейшая процедура состоит в следующем: слева умножаем выражение (4.4) на
; преобразуем дифференциальное уравнение (4.4), учитывая, что операторы
и
не затрагивают чужую переменную и не изменяют функции от неё; производим сокращения и разделяем переменные.
или
(4.5) 4.1.2.6. В силу независимости аргументов функций X и Y, а также и преобразований над ними, выражение (4.5) следует приравнять постоянной величине, а именно
(4.6) Цепочка равенств (4.6) – это не что иное, как система двух дифференциальных уравнений, связанных между собой лишь постоянной
, которая в каждой конкретной задаче находится из дополнительных математических или физических условий. Систему можно записать так
(4.7) Каждое из дифференциальных уравнений системы (4.7) включает лишь одну переменную и решается самостоятельно. 4.1.2.7. Такая схема легко распространяется на конфигурационное пространство
В таком случае общее выражение для дифференциального уравнения (4.1) выглядит следующим образом
. (4.8) 4.1.2.8. Одномерные операторы–слагаемые
, на которые разлагается многомерный оператор
, с одной стороны, построены на разных переменных,
а с другой стороны, могут иметь разную конструкцию, хотя это и не обязательно. Последнее их отличие отметим ниже индексами a,b,c... Основное условие возможности разделения переменных выражается формулой, определяющей аддитивную структуру оператора
(4.9) 4.1.2.9. Аддитивность оператора (4.9) порождает мультипликативность решения уравнения (4.8), т.е.
(4.10) Подставляя (4.9) и (4.10 ) в (4.8), получаем
(4.11) Каждый из одномерных операторов дифференцирования преобразует лишь ту функцию-сомножитель которая содержит его же аргумент. Остальные функции-сомножители без нарушения равносильности уравнения (4.11) можно вынести влево за такой оператор:
4.1.2.10 соответствии с методом Фурье, слева домножаем выражение на
и получаем
Отделяя любое из слагаемых, например, первое, вводим первую из констант
связывающих отдельные компоненты решения
и т.д.
(4.12) 4.1.2.11. Суммируя левые части уравнений системы (4.12) и все константы в правой части, получаем
т.е.
или
(4.13) Таким образом, параметры отдельных одномерных дифференциальных уравнений оказываются связанными между собой равенством (4.13). 4.1.2.12.При разделении переменных многомерного дифференциального уравнения можно их предварительно группировать. В таком случае в выражениях (4.8 ) – (4.10)под каждым из символов
может подразумеваться целый набор переменных. Именно таким образом производится анализ движения в системе многих частиц. Вначале очень сложное и громоздкое исходное уравнение всегда претерпевает подготовительное преобразование, состоящее в том, что производится выделение отдельных уравнений, относящихся к индивидуальным частицам. 4.1.2.13. Встречаются ситуации, когда, на первый взгляд, разделить переменные невозможно, так как оператор
содержит сложные функции, включающие все эти переменные либо часть из них. В таких случаях часто к цели ведёт замена переменных, например, переход от декартовых координат х, у к полярным или к комбинации исходных декартовых. Преобразования, связанные со сменой координат, и в классической и в квантовой механике являются самым обычным делом. Выбор подходящей системы переменных часто подсказывает выражение потенциальной энергии
. Ниже мы встретимся с такими примерами. 4.1.2.14. Следует отметить, что простая аддитивная форма оператора
не является непременным условием разделения переменных в дифференциальном уравнении (4.8). Встречаются и более сложные конструкции операторов, допускающие возможность использования основных принципов решения дифференциальных уравнений в частных производных по методу Фурье с разделением переменных. Ниже мы столкнемся с такими случаями.
Различным комбинациям квантовых чисел может отвечать одно и то же значение суммы квадратов В этом случае все такие состояния относятся к одному вырожденному уровню. Обозначим их число – кратность вырождения уровня – буквой g. На примере шести низших уровней кубического "ящика" проследим их вырождение . Для этого, как обычно, составим таблицу состояний и уровней (табл. 4. 1.) и изобразим энергетическую диаграмму этой системы ( рис. 4.1.).
Квантовые числа состояний () | Энергетические уровни | Кратность вырождения уровня g |
1,1,1 | 3 | 1 |
1,1,2 1,2,1 2,1,1 | 6 | 3 |
1,2,2 2,1,2 2,2,1 | 9 | 3 |
1,1,3 1,3,1 3,1,1 | 11 | 3 |
2,2,2 | 12 | 1 |
1,2,3 1,3,2 2,1,3 3,1,2 2,3,1 3,2,1 |
14 |
6 |
Вырождение энергетических уровней кубического “ящика" связано с его высокой пространственной симметрией. Сжатие или удлинение куба вдоль какого-либо направления (при этом параметр a принимает разные значения ) поникает симметрию системы и приводит к снятию вырождения уровней. Следует указать, что такая закономерность является универсальной: чем выше симметрия системы, тем больше кратность вырождения её уровней. При понижении симметрии происходит расщепление ранее вырожденных уровней.
Как у всякой функции трёх переменных, у волновой функции пространственной системы передать графически можно лишь отдельные свойства, тогда, как её полный графический образ практически недоступен.
Другие работы по теме:
Что изучает механика
Text Graphics Механика изучает механическое движение тел Graphics Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют
Ионная терапия
Виды ионизирующих излучений, механизмы взаимодействия заряженных частиц, нейтронов, фотонов с веществом, перенос излучения, кинетические уравнения, методы исследования характеристик излучений, радиационные химические и биологические эффекты, излучения в диагностике и терапии, планирование радиационной терапии, защита и дозиметрия
Законы электрического тока
Text Text Graphics МОУ СОШ № 14 с. Заветное Презентация по физике Graphics На основании опытов английский учёный Джоуль и русский учёный Ленц независимо друг от друга пришли к выводу: Количество теплоты, выделяемое проводником с током, равно произведению квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени.
Магнитные и электромагнитные поле
Электрическое и магнитные поля тесно связаны между собой. В природе существует электромагнитное поле - чисто электрические и чисто магнитные поля являются лишь его частными случаями. Изменяющиеся электрические и магнитные поля индуктируют друг друга.(под изменением поля надо понимать не только изменение его интенсивности, но и движение поля как целого).
Электромагнитное взаимодействие
Электромагнитное взаимодействие Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всё, что мы видим, построено из элементарных частиц, есть такие кирпичики мироздания. На макроскопическом уровне много взаимодействий, на самом деле, в основании всего лежит четыре типа фундаментальных взаимодействий.
Элементарные частицы
ДОКЛАД по физике на тему: элементарные частицы. Подготовил: уч. 11б Будневский Вадим Проверил: Кистанов А. В. При современном состоянии науки неизвестно, является ли электрон, протон и нейтрон простейшими, неразложимыми далее частицами, или же они, подобно атомам, построены из других (неизвестных еще) более фундаментальных частиц.
Динамика частиц
Движение несвободной частицы. Силы реакции и динамика частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы. Закон сохранения кинетического момента системы. Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц. Теорема Кёнига.
Трансперсональная психология (С.Гроф)
Концепция личности в Трансперсональной психологии разработана Графом в процессе эксперимент, изучения многочислен, группы феноменов человеческого сознания, возникающих в сеансах психоделической терапии под воздействием психоделиков.
О тождественности уровней
Обобщение теории относительности возможно на основе предположения об общей физической природе материи и энергии; исключительность скорости света при этом преодолевается, парадоксальным образом сохраняясь. Для взгляда наблюдателя электромагнитное излучение отличается от элементарных частиц "точкой зрения" наблюдателя, его "местом" в мире.
Молекулярная физика
Постоянная Авогадро, Броуновское движение, идеальный газ, температура и ее измерение.
Сложение колебаний
Векторная диаграмма. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Полевые модели элементарных частиц
Теория показывает, что, если учитывать квантовый характер возмущений поля, то можно построить и рассчитать не только дискретные поперечные электромагнитные волны (возмущения) - фотоны, но и остальные элементарные частицы.
Атом
За триста с лишним лет до нашей эры в Древней Греции ученые-философы рассуждали так: любое вещество, любой предмет можно разделить на части. Камень можно раздробить в мелкий порошок. Воду — расплескать, а потом она испарится, превратится в пар.
Античастицы
Для всякой известной элементарной частицы имеется вероятность найти античастицу — то есть частицу с той же массой, но противоположными другими физическими характеристиками.
Элементарные частицы. Ускорители
Исторически термин элементарные частицы был введен для тех частиц, которые считались неделимыми и бесструктурными, и из которых построена вся материя.
Партия Патриотов
Canadian patriot support pamphlet Движение Патриотов — политическое движение, организованное в Нижней Канаде (современный Квебек) в конце XIX века. Движение было реакцией против колониального контроля правительства в Нижней Канаде и националистической реакции против британского присутствия и доминирования над бывшей территорией Франции.
Движение 4 мая 1919 года в Китае
Движение 4 мая — массовое антиимпериалистическое (преимущественно антияпонское) движение в Китае в мае-июне 1919 года, возникшее под влиянием Октябрьской революции в России. Развернулось в ответ на решение Парижской мирной конференции не возвращать Китаю захваченные Японией бывшие германские концессии в провинции Шаньдун.
Дервиз
Дервиз Дервиз вернее фон-дер-Визе — русский дворянский род, происходящий из Гамбурга, где Генрих-Дитрих Визе был старшим бургомистром. Правнук Матвея Дервиза, Иоанн-Адольф, служил в Швеции, затем был в Петербурге юстиц-советником голштинской службы у Петра III и возведен в дворянское достоинство Римской империи, с прибавкой частицы «фон-дер».
Революционное движение 13 ноября
План Введение 1 Организация Список литературы Введение Революционное движение 13 ноября (исп. Movimiento Revolucionario 13 Noviembre) — левое партизанское движение в Гватемале.
Культурная революция в сельской местности
Ричард Баум смог составить интересную хронологию того, каким образом Великая пролетарская культурная революция развивалась в сельской местности. Он исследовал окончательное пространственное распределение движения. Его документальное свидетельство показало, что большая часть городков коммун и сел, которая испытала перевороты, лежала относительно близко к крупным городам, железнодорожным линиям, главным дорогам или портам, и что, вообще, чем ближе она к ним располагалась, тем ранее она испытала беспорядки Культурной революции.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Разработка модели движения практически невесомой заряженной частицы в электрическом поле, созданном системой нескольких фиксированных в пространстве заряженных тел. При условии, что тела находятся в одной плоскости, но частица находится вне плоскости.
Решение задачи с помощью программ Mathcad и Matlab
Моделирование движения заряженной частицы, падающей вертикально вниз на одноименно заряженную пластину, с помощью программ Mathcad и Matlab. Построение графика зависимости высоты, на которой находится точка, от времени и скорости движения этой частицы.
Общие сведения о грунтах
Скалистые грунты — массивные породы имеющие прочную связь слагающих частиц, имеют значительную прочность на сжатие и не промерзают, идеальная основа для фундамента.
Молекулярно-кинетическая теория 2
Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) — теория XIX века, рассматривавшая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:
Источники и область применения ионизирующих излучений
Быстрое развитие ядерной энергетики и широкое применение источников ионизирующих излучений (ИИИ) в различных областях науки, техники и народного хозяйства создали потенциальную угрозу радиационной опасности для человека.