Измерение случайных процессов

Рефераты по цифровым устройствам » Измерение случайных процессов

Реферат на тему : .


Содержание


  1. Общие сведения об измерениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 3.

  2. Измерения математического ожидания и дисперсии случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 9.

  3. Измерение функций распределения вероятности. . . . стр 11.

  4. Измерения корреляционной функции. . . . . . . . . . . . . . стр 13.

  5. Анализ спектра мощности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 14.

  6. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 16.

  7. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 17.


ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на­стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь навигация управление диагно­стика (техническая медицинская) исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех описываемых их вероятностными характери­стиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов приве­ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление анализаторов функций рас­пределения вероятностей коррелометров измерителей математи­ческого ожидания дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях.

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция) мгновенное значе­ние (выборочное значение) совокупность мгновенных значений (выборка) вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: Х (t) — случайный процесс;

i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t);

xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t) соответствующее значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным назы­вают процесс Х (t) мгновенные значения которого xi (tj) суть случайные величины.

На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени t.

В теории случайных процессов их полное описание произво­дится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности моментных функ­ций характеристических функций и т. п. В теории статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями причем полное представление осуществля­ется с помощью так называемого ансамбля т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб­стракция модель рассматриваемого процесса но конкретные реализации используемые в измерительном эксперименте пред­ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t) i=1 2 ... со то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности т.е.

N

[X (t)]=lim 1/N g[xi(t)] (1)

N i =1

где g [Xi (t)]— некоторое преобразование лежащее в основе оп­ределения вероятностной характеристики . Так например при определении дисперсии g [Xi (t)]= xi (t). При этом полагаем что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-й реализации xk (t) и тогда

T

 [X(t)]= lim 1/T g[xi(t)]dt. (2)

T

Например при определении математического ожидания


T

M [X (t)]= lim 1/T xk (t) dt. (3)

T 0

В общем случае результаты усреднения по совокупности (1) и по времени (2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (1) представляет собой вероятност­ную характеристику выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2) представляет собой вероятностную характеристику выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери­стик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса как стационарность и эрго­дичность. Стационарным называется процесс вероятностные ха­рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс вероятностные характеристи­ки которого не зависят от номера реализации.

Следовательно стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс у которого эквивалентны времен­ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку­щего времени) но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар­ный эргодический процесс — это процесс у которого эквивалент­ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации) но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна­ков (стационарность и эргодичность) получаем следующие четы­ре класса процессов: стационарные эргодические стационарные неэргодические нестационарные эргодические нестационарные неэргодические.

Учет и использование описанных свойств случайных процес­сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.

Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож­дения величины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств реализующих алгоритм включающий в себя операцию сравнения с известной величиной в статических изме­рениях должна применяться мера воспроизводящая известную величину.

Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов различающиеся способом применения ме­ры в процессе измерений представляются в следующем виде:


* [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4)


* [X (t)]= Sd Kg [X (t)]; (5)


* [X (t)]= Sd gK [X (t)]; (6)


где Sdоператор усреднения; К—оператор сравнения;

* [X (t)]—результат измерения характеристики [X (t)].

Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе­раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К) может быть заключительной [см. (4)] выполняться после реализации оператора g но до усреднения [см. (5)] и наконец быть началь­ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе­мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2.

На этих рисунках для обозначения блоков реализующих операторы входящие в выражения (4) — (6) используют­ся те же обозначения. Так g устройство выполняющее пре­образование лежащее в основе определения вероятностной ха­рактеристики ; Sd устройство усреднения (сумматор или ин­тегратор); К— компаратор (сравнивающее устройство) а М—мера с помощью которой формируется известная величина (. g. x.)


Представленное на рис. 2 а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализа­ций {xi (t)} (при использовании усреднения по времени — одна реализация xi (t)- на выходе узла g имеем совокупность преоб­разованных реализации {g[xi (t)]}; после усреднения получаем величину Sd {g[xi (t)]} которая поступает на компаратор осуще­ствляющий сравнение с известной величиной о в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики *[X(t)].

Отличие процедуры реализуемой средством измерений пред­ставленным на рис. 2 б заключается в том что после формиро­вания совокупности {g [xi (t)]} она поступает не на усреднитель а на компаратор который выполняет сравнение с известной вели­чиной go; на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [xi (ti)]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо­де усреднителя Sd имеем результат измерения * [X (t)].

Средство измерений (рис. 2 в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализа­ции случайного процесса Х (t) после чего преобразование g и ус­реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива­лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре­образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо­ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений а процессор по определенной программе обеспечивает реализа­цию операторов g и Sd

Погрешность результата измерения вероятностной характе­ристики случайного процесса

* [X(t)]=*[X(t)]- [ X(t)]. (7)

Для статистических измерений характерно обязательное на­личие составляющей методической погрешности обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени­ях реализации случайного процесса ибо при проведении физиче­ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7) определяет результирующую по­грешность включающую в себя как методическую так и инстру­ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати­стических измерений методической погрешности обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала.

2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Математическое ожидание и дисперсия случайного процес­са — основные числовые вероятностные характеристики измере­ние которых играет большую роль в практике научных исследова­ний управления технологическими процессами и испытаний.

При измерении математического ожидания результатом из­мерения является среднее по времени или по совокупности мгно­венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще чем усреднение по совокупности поскольку работать с од­ной реализацией удобнее и проще чем с совокупностью. На рис. 3 приведена структурная схема устройства реали­зующего алгоритм

t

M* [X (t)]= 1/T xk (t) dt.

t-T


На рисунке Д—преобразователь измеряемой величины в электрический сигнал (датчик); НП — нормирующий преобра­зователь превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И — интегратор; УС — устройство сопря­жения обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами цифрового вольтметра и регистрирующего прибора;

ЦИП — цифровой прибор (например цифровой вольтметр);

РП—регистрирующий прибор (самопишущий прибор).

Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности обусловленной конечностью объема выборочных данных

можно пользоваться следующими соотношениями:

1/2

 =[2D[X(t)] k/T]

M

при усреднении по времени T и


1/2

 =[D[X(t)]/N]

M


при усреднении по совокупности N. Здесь D[X (t)]—дисперсия процесса X(t) а k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче­ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали­зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом

T 2

D[X(t)]= lim 1/T [xk (t)-[X(t)]] dt

T 0

или

N 2

D[X(t)]= lim 1/N [xi(t)-[X(t)]] dt

N i=1

Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса т. е. работающего согласно вы­ражению

t t 2

D* [X(t)]=1/T [xk (t)- 1/T1 xk (t)dt] dt

t-T t-T1

На рисунке НП — нормирующий преобразователь; И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифро­вой прибор; РП — регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t) может быть определена с помощью соотношений

2 1/2

 =[2D[X (t)] k/T]

M


где D[X2 (t)]— дисперсия Х (t); T—время усред­нения.

При усреднении по совокупности N реализаций

2 1/2

 =[D[X (t)] /N]

D


3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Одномерная интегральная функция распределения вероятно­сти F (X) равна вероятности того что мгновенное значение про­извольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня т. е. Xi (ti) X. Функция F (X) определя­ется как предел выборочного среднего:


F (X)= lim Sd [ [x (t) X]]

d


1 при x (t) X

Где [x(t) X]=

0 при x (t) > X


Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой со­отношениями

X

w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)= w (X) dX

-

справедливо выражение

w (X) = lim ((F(X+X)-F (X))/X)= lim ((Sd [[x(t) X]])/X)

X X


1 при X < x (t) X+X

где [x(t) X]=

0 при x (t) X x (t) > X+X


В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений реа­лизующего алгоритм

t

F* (X)=1/T [xk(t) X]dt

t-T


показана на рис. 5 где ПУ — пороговое устройство формиру­ющее сигнал X k (t}—X; ФУ—формирующее устройство; И—интегратор на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х и Т; УС — устройство сопряжения;

ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X) с помощью соотношения


2 1/2

 =[2(F - F ) k/T]

F


при усреднении по времени и с помощью соотношения

2 1/2

 =[2(F - F )/N]

F

при усреднении по совокупно­сти. Для (X) соответствующие соотношения имеют вид:

2 1/2

 =[2(w - w X) k/T]

w


2 1/2

и =[(w - w X)/N]

w


В приведенных соотношениях F и w — истинные значения измеряемых функ­ций при данном X.


4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Для случайного процесса с нулевым математическим ожида­нием корреляционная функция равна:

Rx (s ) = lim Sd[xi (t) xi-s (t-)]

d

где и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений.

В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы т. е. процессы с постоянными вероятностны­ми характеристиками не зависящими от текущего времени. Сре­ди случайных процессов можно выделить эргодические процессы для которых

t

Rx () = lim 1/T x (t) x (t-)dt

T 0


Большое значение корреляционного анализа в различных областях науки и техники привело к созданию множества измери­тельных приборов для измерений корреляционных функций — коррелометров.

Типовая структура коррелометра в котором используется усреднение по времени представлена на рис.

Страницы: 1 2