Модель Стоуна
Москва
2007
Содержание
Введение. 3
Решение задачи
Стоуна для случая двух товаров. 4
Минимизация
расходов потребителя: обратная задача. 7
Решение задачи
Стоуна для случая трех товаров. 9
Пример
1. 9
Пример
2. 10
Пример
3. 11
Пример
4. 12
Пример
5. 14
Литература. 15
Введение
Пусть U – функция полезности потребителя.
Задачу потребительского выбора можно записать в виде
(*)
,
(Доход мы нормировали на
единицу, не теряя общности). Набор товаров можно рассматривать в
качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора необходимо,
чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.
(**)
Показатели степеней ai
> 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров
для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим
задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.
Решение задачи Стоуна
для случая двух товаров
Выведем оптимум
потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно
расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в
том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U
(X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он
тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя
можно представить как I = PXX + PYY.
Затем мы решаем задачу
на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей
Лагранжа. Составляем следующее уравнение
L = U (X,
Y) + l(I - PXX - PYY), (1)
где l
- так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен
несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате
нахождения частных производных первого порядка по X, Y и l
из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.[1]
Получаем систему уравнений (2)
(2)
Последнее уравнение из (2)
говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y
без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из
них следует, что
(3)
Правые части в (3) есть ни что
иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X
и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума
потребителя.
, (4)
где l
может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь
для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп
возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.
Для того, чтобы найти точки
оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию
полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем
(5)
Решая систему уравнений (5)
относительно X и Y получаем
,
Пусть, например, доход
потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда
X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY
снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* =
12,5.
Заметим, что в нашем случае
функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода
потребителя. В то же время они позволяют заметить, что
а) каждому значению цены блага и
дохода отвечает одно значение спроса;
б) если все цены и доходы
меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.
Минимизация расходов
потребителя: обратная задача
В предыдущем разделе
математического приложения ставилась задача максимизировать полезность
потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как
минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.
Эта проблема не
является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать
экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и
соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный
уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл
спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни
при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать
эффект ценовых изменений на эти расходы.
Теперь мы минимизируем
I = PXX + PYY при ограничении U (X, Y) = , где - определенный фиксированный
уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая
L = ( PXX
+ PYY) - m [U (X, Y) - ]
Тогда имеем
(1)
Возьмем первые два
уравнения из (1). Из них получаем
, (2)
где m - величина обратная предельной
полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам
условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).
Решение задачи Стоуна
для случая трех товаров
Пример 1
Пусть
функция полезности имеет вид
Бюджетное
ограничение
составим
фунцию Лагранжа
Найдем
частные производные
решение
системы
Пример 2
Пусть
функция полезности имеет вид
Бюджетное
ограничение
составим
функцию Лагранжа
Найдем
частные производные
решение
системы
Пример 3
Пусть
функция полезности имеет вид
Бюджетное
ограничение
составим
функцию Лагранжа
Найдем
частные производные
решение
системы
Пример 4
Пусть
функция полезности имеет вид
Бюджетное
ограничение
составим
функцию Лагранжа
Найдем
частные производные
решение
системы
Пример 5
Пусть
функция полезности имеет вид
Бюджетное
ограничение
составим
фунцию Лагранжа
Найдем
частные производные
решение
системы
Литература
1.
Экономика.
Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.
2.
Микроэкономика.
Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.
3.
Экономическая
теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. –
М.: РЭА, 2000.
4.
Курс экономики.
Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.
5.
Экономическая
теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.
6.
Экономическая
теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой,
Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.
7.
Микроэкономика.
Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.
[1]
Условия второго порядка базируются на сложных математической технике и ничего
дополнительно изучающему начальный курс экономики не дают.
Другие работы по теме:
Модель кругооборота доходов
Простейшая модель кругооборота доходов обладает несколькими важными свойствами: 1) эта модель описывает полностью изолированную систему: в ней все уравновешено; на любом участке контура материальный поток в одну сторону полностью уравновешен встречным денежным потоком. Поэтому данная система является равновесной.
Математические методы оптимизации
Описание графического способа решения задачи распределения ресурсов. Определение экономического смысла двойственной задачи. Нахождение предельных полезностей товаров и их приближенного изменения. Применение модели Стоуна для расчета равновесного спроса.
Сестринська справа як наука
Сестринська справа – це наука, то як і будь-яка наука повинна мати свою наукову теорію, яка вивчає усі варіанти можливої поведінки медичних сестер у роботі з пацієнтом.
Домашние хозяйства
ДОМАШНЕЕ ХОЗЯЙСТВО - один из трех основных субъектов экономической деятельности (государство, предприятия, ). Охватывает экономические объекты и процессы, происходящие там, где постоянно проживает человек, семья.
Японская модель делового поведения
Японская модель делового поведения долгое время являлась образцом для управленцев всего мира. Не случайно Япония сумела достичь экономического прогресса в короткие сроки. Таковой она остается и сейчас.
по проекту №2 1/2826
«Поддержание и развитие уникальных картотек факультета филологии и искусств Санкт-Петербургского государственного университета – базы научных исследований и учебных практик» аналитической ведомственной целевой программы “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)”
G.B.H.
Эти представители британского хардкора и кроссовера, причисляющие себя все же к панк-лагерю появились на свет в 1979 году под названием "Charged G.B.H.". Последнее сокращение можно было расшифровать как "Grevious bodily harm".
Методы формирования целей организации
Методика системного анализа, процесс формирования целей организации представляется тремя этапами: 1.Анализ исходной информации. Анализу подлежат, нормативные документы, различные государственные программы, дынные о территории, схемы развития и размещения производительных сил, мировой и отечественный опыт и т.д.;
Модель оценки доходности финансовых активов CAPM
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ДОХОДНОСТИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ ( CAPM Модель оценки доходности финансовых активов предполагает, что цена собственного капитала равна безрисковой доходности плюс премия за риск. Эта модель помогает определить справедливую доходность ценной бумаги основываясь на ее риске.
Количественная школа управления 2
Количественная школа управления (с 1950гг – по н. в.) Основная предпосылка возникновения - усложнение процесса управления, что было обусловлено бурным научно - техническим прогрессом послевоенных лет.
Математические методы исследования в экономике 2
Математические методы исследования в экономике. Вариант № 6 Составить линейную оптимизационную модель и решить любым известным методом Условие: Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. На рисунке показана технологическая схема производства изделий.
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Типовой расчет по ЭМММ
Типовой расчет Решение задач по дисциплине ЭМММ Вариант №23 Выполнил: Проверил: Екатеринбург 2009 Математическая модель ЗЛП Мат. модель ЗЛП называется стандартной, если система ограничений представлена в виде неравенств, а функция минимизируется или максимизируется
Эссе Почепцов Г.Г. Теория коммуникации
Почепцов Г.Г. «Теория коммуникации» В учебнике Почепцова Г.Г. Рассматривается все что связанно с коммуникацией. Модели коммуникации: Модель Антонио Грамши (марксистская)Буржуазия держится, ,на двух основаниях: экономическом доминировании и на моральном лидерстве. Буржуазия диктует другим политические и моральные взгляды.
TATRA
TATRA – чехословацкий машиностроительный гигант, сумевший в 80-е годы снабдить Москву трамваями, а КГБ – лимузинами.
ARO
Завод в Румынии, в местечке Campulung-Muscel, в 1953 году начал собирать первые румынские мотоциклы. Производство авомобилей было начато в 1957 г с модели IMS- 57.
Александр фильм
Введение 1 Сюжет 2 В ролях 3 Интересные факты 4 Исторические неточности в фильме Введение «Александр» (англ. Alexander) — исторический фильм режиссёра Оливера Стоуна о жизни и смерти полководца Александра Македонского. Картина, снятая за рекордный для Стоуна бюджет (150 млн долларов), провалилась в американском прокате, получив негативные отзывы как критиков, так и зрителей.
Мадемуазель Ланж
Введение 1 Карьера актрисы 2 Ланж как модель 3 Образ в драматургии 4 Спорные детали биографии Введение Мадемуазель Ланж (фр. Mademoiselle Lange, собственно Anne-Franзoise-Elisabeth Lange, 17 сентября 1772, Генуя — 2 декабря 1825, Флоренция) — французская актриса, светская красавица, куртизанка, модель.
Инцидент с солёным кренделем
Введение 1 Детали инцидента 2 Общественная реакция 3 Освещение в культуре Список литературы Введение Инцидент с солёным кренделем — инцидент, произошедший с Джорджем Бушем 13 января 2002 года, когда президент США подавился солёным кренделем и на несколько секунд потерял сознание.
Битва при Иссе мозаика
План Введение 1 Обнаружение и сохранность 2 Иконография 3 Прообраз Введение Александрова мозаика — наиболее известная античная мозаика с изображением Александра Македонского в битве с персидским царём Дарием III. Мозаика выложена из около полутора миллионов кусочков, собранных в картину по технике, известной как «opus vermiculatum», то есть кусочки собирались один к одному по извилистым линиям.
Форрест, Эдвин
Эдвин Форрест (1806—1872) — американский актер. Из бедной семьи. Играть начал в 1820 году. Играл в театрах Нью-Йорка, Питтсбурга, Нового Орлеана. В 1836 и 1845 годах посещал с гастролями Англию. В 1853 году оставил сцену; вернулся к профессии в 1863 году, но без успеха.
Джона Кеннеди
Биография (John Kennedy) 20 января 1961 — 22 ноября 1963 Вице-президент: Линдон Джонсон Предшественник: Дуайт Эйзенхауэр Преемник: Линдон Джонсон Партия: Демократическая партия США Вероисповедание: Католицизм Рождение: 29 мая 1917 года
Проект бази даних
Опис предметної області. Визначення проблеми та постановка задачі. Проектування бази даних. Концептуальна модель. Логічна модель. Фізична модель. Розробка програмних модулів.
Джеймс Уатт
Джеймс Уатт - английский изобретатель, создатель универсальной паровой машины двойного действия.
Цузе Конрад
Автор модели механической вычислительной машины, в которой использовались двоичная система счисления , форма представления чисел с плавающей запятой , трехадресная система программирования и перфокарты .
Уравнение Дюпона
(также Модель Дюпона или Формула Дюпона) является модифицированным факторным анализом, позволяющим определить, за счёт каких факторов происходило изменение рентабельности. В основании факторной модели в виде древовидной структуры — показатель рентабельности собственного капитала (ROE), а признаки — характеризующие факторы производственной и финансовой деятельности предприятия.