Алтайский
институт труда и права (филиал)
Академии
труда и социальных отношений
Финансово-экономический
факультет
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Эконометрика
на тему
Классический метод наименьших
квадратов
Студента 3 курса 681 группы
Бахтеевой Татьяны Михайловны
2010
Метод наименьших
квадратов (МНК) – один из наиболее широко используемых методов при решении
многих задач восстановления регрессионных зависимостей[1].
Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной
механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809
г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало
широкого применения статистических методов при решении задач восстановления
регрессионных зависимостей. Строгое математическое обоснование и установление
границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А.А.
Марковым и А.Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших
разделов математической статистики и широко используется для статистических
выводов в различных областях науки и техники.
Приведу краткое описание
данного метода. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного
анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих
случайные ошибки. Применяется также для приближённого представления заданной
функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке
наблюдений. В настоящее время широко применяется при обработке количественных
результатов естественнонаучных опытов, технических данных, астрономических и
геодезических наблюдений и измерений.
Можно
выделить следующие достоинства метода:
а)
расчеты сводятся к механической процедуре нахождения коэффициентов;
б)
доступность полученных математических выводов.
Основным
недостатком МНК является чувствительность оценок к резким выбросам, которые
встречаются в исходных данных.
Рассмотрю
применение классического метода наименьших квадратов для нахождения неизвестных
параметров уравнения регрессии на примере модели линейной парной регрессии.
Пусть подобрана эмпирическая линия, по виду которой можно судить о том, что
связь между независимой переменной и зависимой переменной линейна и описывается
равенством:
(1)
Необходимо
найти такие значения параметров и , которые бы доставляли минимум функции (1), т. е.
минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений
результативного признака от теоретических значений (значений, рассчитанных на основании
уравнения регрессии):
(2)
При
минимизации функции (1) неизвестными являются значения коэффициентов регрессии и Значения зависимой и независимой переменных известны
из наблюдений.
Для
того чтобы найти минимум функции двух переменных, нужно вычислить частные
производные этой функции по каждой из оцениваемых параметров и приравнять их к
нулю. В результате получаем стационарную систему уравнений для функции (2):
регрессивный оценка
обработка результат
Если
разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и
привести подобные члены, то получим систему:
Эта
система нормальных уравнений относительно коэффициентов и для зависимости
Решением
системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения
регрессии и :
Где - среднее значение зависимого
признака;
- среднее значение независимого
признака;
- среднее арифметическое значение произведения
зависимого и независимого признаков;
- дисперсия независимого признака;
- ковариация между зависимым и
независимым признаками.
Рассмотрим применение МНК на
конкретном примере.
Имеются данные о цене на нефть (долларов за баррель) и индексе акций
нефтяной компании (в процентных пунктах). Требуется
найти эмпирическую формулу, отражающую связь между ценой на нефть и индексом
акций нефтяной компании исходя из предположения, что связь между указанными
переменными линейна и описывается функцией вида
Зависимой переменной в данной регрессионной модели будет
являться индекс акций нефтяной компании, а независимой - цена на нефть.
Для нахождения коэффициентов и построим вспомогательную таблицу (1).
Таблица 1.
Таблица для нахождения коэффициентов и
Запишем
систему нормальных уравнений исходя из данных таблицы:
Решением
данной системы будут следующие числа:
Таким
образом, уровень регрессии, описывающее зависимость между ценой на нефть и
индексом акций нефтяной компании, можно записать как:
На
основании полученного уравнения регрессии можно сделать вывод о том, что с
изменением цены на нефть на 1 денежную единицу за баррель индекс акций нефтяной
компании изменяется примерно на 15, 317 процентных пункта.
Метод
наименьших квадратов является наиболее распространенным методом оценивания
параметров уровня регрессии, и применим только для линейных относительно
параметров моделей или приводимых к линейным с помощью преобразования и замены
переменных[2].
Список
использованной литературы:
1. Крянев А.В. Применение современных
методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей
на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. С. 4.
2. Мамаева З.М. Математические методы и
модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н. Новгород.: 2010. С 17
3. Эконометрика. Конспект лекций. Яковлева
А.В. М.: Эксмо, 2008.С. 126.
[1] Крянев А.В. Применение
современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных
зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. 4 с.
[2] Мамаева З.М.
Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н.Новгород.:
2010. С 17
Другие работы по теме:
Множественная регрессия и корреляция
Методика расчета параметров множественной регрессии и корреляции. Тест на выбор "длинной" или "короткой" регрессии. Тест Чоу на однородность зависимости объясняемой переменной от объясняющих. Тест Бреуша – Пагана. Тест Дарбина на наличие автокорреляции.
Эконометрика 3
Институт экономики и предпринимательства (ИНЭП) Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант 1 Выполнил: студент группы № Проверил: преподаватель ИНЭП,
Построение эконометрической модели
Общий вид искомой модели, нахождению структурных коэффициентов. Ранг матрицы системы, число эндогенных переменных, достаточное условие индентифицируемости системы. Применение косвенного метода наименьших квадратов, выражение переменные через отклонения.
Прогнозирование национальной экономики
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: ПРОГНЕЗИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Финансовое планирование и прогнозирование
Прогнозирование выпуска товарной продукции на предприятии. Метод экстраполяции динамического ряда (метод наименьших квадратов). Составление прогнозного баланса и определение общей суммы средств, необходимых в конце года для финансирования предприятия.
Равноускоренное движение
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ Цель и содержание работы Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи
Методические указания по выполнению контрольных работ
Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения / Под ред проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Взфэи, 2008
работа по курсу "Математическая статистика"
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область q определяется, исходя из соотношения
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Решение дифференциальных уравнений
Задача 4 С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры линейной функции , приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Математика
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Контрольная работа по специальным главам математики.
Эконометрика
Обработка результатов наблюдений за дневной выручкой восьми продавцов на рынке.
Аппроксимация функций
Способы задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный; аппроксимирующая функция.
Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов
Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Множественная регрессия и корреляция 2
Множественная регрессия и корреляция Пусть требуется построить линейную модель зависимости некоторого выходного экономического показателя , называемого объясняемой переменной от набора входных показателей
Линейная модель множественной регрессии 2
Содержание Введение…………………………………………………………………….3 Линейная модель множественной регрессии……………………...5 Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии…………………………………………..6
Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
Общая характеристика цифрового фильтра, его описание разностным уравнением. Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика, их связь парой преобразований Фурье. Метод частотной выборки и наименьших квадратов, их сравнение и отличия.