Поняття поверхні другого порядку
Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду
ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)
де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля.
Рівняння(1) називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.
Поверхня другого порядку як геометричний об’єкт не змінюється, якщо він заданої прямокутної системи координат перейти до іншої. При цьому рівняння і рівняння, знайдене після перетворення координат, будуть еквівалентні.
Можна довести, що існує система координат, в якій рівняння має найпростіший (або канонічний вигляд.
До поверхонь другого порядку належать, зокрема, циліндричні та конічні поверхні, поверхні обертання, сфера, еліпсоїд, одно порожнинний та двопорожнинний гіперболоїди, еліптичний та гіперболічний параболоїди. Розглянемо ці поверхні та їхні канонічні рівняння.
Циліндричні поверхні
Циліндричною поверхнею називають поверхню σ, утворену множиною прямих (твірних), які перетинають задану лінію L (напрямну) і паралельні заданій прямій l. Вивчатимемо лише такі циліндричні поверхні, напрямні яких лежать в одній з координатних площин, а твірні паралельні координатній осі, яка перпендикулярна до цієї площини.
Розглянемо випадок, коли твірні циліндричної поверхні паралельні осі Оz, а напрямна лежить в площині Оху.
Нехай задано рівняння
f (x; y) =0, (2)
яке в площина Оху визначає деяку лінію L – множину точок М (х; у), координати яких задовольняють це рівняння. Дане рівняння задовольняють також координати всіх тих точок N(х; у; z) простору, у яких дві перші координати х і у збігаються з координатами будь-якої точки ліні L, а третя координата z – довільна, тобто тих точок простору, які проектуються на площину Оху в точки лінії L.
Всі такі точки лежать на прямій, яка паралельна осі Oz і перетинає лінію L в точці М (х; у). Сукупність таких прямих і є циліндричною поверхнею σ.
Якщо точка не лежить на поверхні σ, то вона не може проектуватися в точку лінії L, тобто координати такої точки рівняння (2) не задовольняють. Отже, рівняння (2) визначає поверхню σ. Таким чином, рівняння f (x; y) =0 визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Оz, а напрямна L в площині Оху задається тим самим рівняння f (x; y) =0. Ця сама лінія в просторі Охzу задається двома рівняннями:
Аналогічно рівняння f (x; y) =0, в якому відсутня зміна у, визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Оу, а напрямна L в площині Охz задається тим самим рівнянням f (x; y) =0; рівняння f (у; z) =0 визначає в просторі циліндричну поверхню, твірні якої паралельні осі Ох.
Поверхня обертання
Поверхню, утворену обертанням заданої плоскої кривої l навколо заданої прямої (осі обертання), яка лежить в площині кривої l, називають поверхнею обертання.
Нехай лінія l, що лежить в площині Оуz, задана рівняннями
(Х,Y, Z – змінні координати точок лінії l, а х, у, z)= змінні координати точок поверхні).
Розглянемо поверхню, утворену обертанням цієї лінії навколо осі Оz і знайдемо рівняння поверхні обертання.
Проведено через довільну точку М (х, у, z) поверхні обертання площину, перпендикулярну до осі Оz, і позначимо через К і N точки перетину цієї площини з віссю Оz і лінією l. Оскільки відрізки , КN KM рівні між собою як радіуси, КР = у, РМ = х, то Y=+, крім того Z=z. Оскільки координати точки N задовольняють рівняння F(X, Z) = 0, то, підставляючи в це рівняння замість Y, Z рівні їм величини +, z, дістанемо рівняння
F=+,z) = 0,
яке задовольняє довільна точка М (х; у; z) поверхні обертання. Можна показати, що короординати точок, які н лежать на цій поверхні, рівняння не задовольняють. Отже, рівняння є рівнянням поверхні обертання.
Аналогічно можна скласти рівняння поверхонь обертання навколо осей Ох і Оу. Таким чином, щоб дістати рівняння поверхні обертання кривої навколо якої-небудь координатної осі, треба в рівнянні кривої залишити без зміни координату, яка відповідає осі обертання, а другу координату замінити на квадратний корінь із суми квадратів двох інших координат, взятий із знаком + або -.
Конічні поверхні
Конічною поверхнею називається поверхня, утворена множиною прямих, що проходять через задану точку Р і перетинають задану лінію L. При цьому лінія L називається напрямною конічної поверхні, точка Р – її вершиною, а кожна з прямих, які утворюють конічну поверхню, - твірною.
Нехай напрямна L задана в прямокутній системі координат рівняннями
(1)
а точка Р (х0; у0;z0) – вершина конічної поверхні. Щоб скласти рівняння конічної поверхні, візьмемо на поверхні довільну точку М (х; у; z) і позначимо точку перетину твірної РМ з напрямною L через N(Х,Y, Z).
Канонічні рівняння твірних, які проходять через точку N і Р, мають вигляд
= = (2)
Виключаючи Х,Y, Z з рівнянь дістанемо шукане рівняння конічної поверхні.
Другие работы по теме:
Кинематика, динамика статика. Задачи
вправа 14. 1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ?
Электродинамика
Електродинаміка – розділ фізики в якому вивчаються електричні й магнітні явища. Основу цих явищ становить електромагнітна взаємодія основними положеннями термодинаміки є заряд і електромагнітне поле.
Сила тертя
Сила тертя - це сила опору рухові двох тіл, що стикаються. Головні причини тертя: нерівності тертьових поверхонь тіл та молекулярна взаємодія між ними. Роль тертя у житті людини, його корисні й шкідливі прояви в науці, техніці, природі й побуті.
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
Інтегральні характеристики векторних полів
Диференціальні операції другого порядку. Потік векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі. Властивості соленоїдального поля. Інваріантне означення дивергенції. Формула Стокса у векторній формі. Властивості потенціального поля.
Поверхневі інтеграли
Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
Поверхневі інтеграли
ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ 1. Поверхневі інтеграли першого роду Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів. Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні
Тренд-аналіз геологічних даних
В складних умовах геологічної будови об’єктів при мозаїчному характері розподілу локальних аномалій ознаки, яка вивчається, виділення напрямків регіональної тенденції його ззміни часто представляє важку задачу при традиційному графічному зображенні, оскільки при цьому звичайно вносяться суб’єктивні представлення априорних геологічних концепцій.
Походження Землі
Реферат Походження Землі ЗЕМЛЯ — ПЛАНЕТА Земля — одна з дев'яти планет Сонячної системи. Як і всі планети, вона обертається навколо Сонця, а також навколо своєї осі. Земля являє собою величезну кулю, сплюснуту біля полюсів, поверхня якої на дві третини вкрита водою, а на одну третину — сушею. Шари повітря, що оточує Землю, становлять її атмосферу.
Ринок робочої сили
РЕФЕРАТ на тему: Ринок робочої сили” Ринок робочої сили, що на поверхні явищ виступає як ринок праці. Друге місце, яке посідає цей вид ринку у загальній структурі ринку, зумовлено тим, що робоча сила, «людський капітал» (за термінологією західних учених) відіграє нині важливішу роль у процесі виробництва, ніж „фізичний капітал” (засоби виробництва).
Ботаніка - наука про рослини Загальна характеристика царства рослини
БОТАНІКА – НАУКА ПРО РОСЛИНИ. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ЦАРСТВА РОСЛИНИ. Ботаніка – наука про рослини, їх будову, життєдіяльність, поширення і походження. Ботаніка вивчає рослинний покрив земної поверхні. Ботаніка вивчає рослини на всіх рівнях (молекулярному, клітинному, організмовому, популяційному).
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали. Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn).
Енергія сонця навколо нас
Реферат на тему: Енергія сонця навколо нас Сонячна радіація - енергія випромінювання Сонця - є основним джерелом енергії атмосферних процесів; вона вимірюється кількістю тепла і виражається в мегаджоулях на 1 кв.м. Промениста енергія Сонця досягає земної поверхні, проникаючи через шари атмосфери, що частково поглинає, відбиває і розсіює сонячну радіацію.
Акт до Порядку погашення заборгованості
Назва реферату : Акт до Порядку погашення заборгованості Розділ : Цінні папери Акт до Порядку погашення заборгованості Акт №___ «___» ___________ 199_ року м. ___________________________
Копіювальний апарат Ксерокс
Індивідуальне завдання на тему: Копіювальний апарат “Ксерокс” Копіювальний апарат - пристрій, призначений для одержання копій з різних оригіналів.
Аеродинаміка літаючої моделі
РЕФЕРАТ на тему: “” Впливаючи на крило, повітряний потік крім горизонтальної сили лобового опору, спрямованої назад, викликає поперечну вертикальну силу, що використовується для підтримки авіамоделі в повітрі, тобто для польоту, і називається тому піднімальною силою.
ЛФК при ліктьових і плечових травмах
Реферат на тему: ЛФК при ліктьових і плечових травмах ЛФК при травмах ліктьового суглоба поділяється на 4 періоди: І період абсолютної іммобілізації – використовують дихальні (статичні і динамічні) і загальнорозвиваючі вправи.
Диференціал 5
Диференціал План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних.