ГИА математика 2011

Государственная (итоговая) аттестация 2011 года (в новой форме)
по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные
общеобразовательные программы
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов для проведения
в 2011 году государственной (итоговой) аттестации
(в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ обучающихся,
освоивших основные общеобразовательные программы
основного общего образования
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
Математика. 9 класс
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов для проведения
в 2011 году государственной (итоговой) аттестации (в новой форме)
по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные
общеобразовательные программы основного общего образования
Пояснения к демонстрационному варианту экзаменационной работы
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в
виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2011 году. Разделы содержания, на которых базируются контрольно- измерительные материалы, определены в спецификации, полный перечень соответствующих элементов содержания и умений, которые могут контролироваться на экзамене 2011 года, приведён в кодификаторах, размещённых на сайте www.fipi.
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать
возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущей экзаменационной работы, числе и форме заданий, а также их уровне сложности. Эти сведения дают возможность выработать стратегию подготовки к сдаче экзамена по математике.
© 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 2
Математика. 9 класс Математика. 9 класс
Часть 1
Демонстрационный вариант 2011 года 1 Площадь территории Испании составляет 506 тыс. км 2 . Как эта величина
записывается в стандартном виде?
Инструкция по выполнению работы 1) 5,06 · 10 2 км 2
2) 5,06 · 10 3 км 2
Работа состоит из двух частей. В первой части 18 заданий, во второй – 5. 3) 5,06 · 10 4 км 2
На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут). Время выполнения первой части ограничено – на неё отводится 90 мин; по истечении этого времени ответы на задания первой части работы сдаются. 4) 5,06 · 10 5 км 2
2 Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных
При выполнении заданий первой части нужно указывать только ответы, соревнованиях. Сколько приблизительно процентов
ход решения приводить не надо. девятиклассников приняли участие в соревнованиях?
При этом: •
если к заданию приводятся варианты ответов (четыре ответа, из них 1) 0,37 % 2) 27 % 3) 37 % 4) 2,7 %
правильный только один), то обведите кружком номер выбранного ответа;
• если ответы к заданию не приводятся, то впишите полученный ответ в 3 Числа a и b отмечены точками на координатной прямой. Расположите в
отведённое для этого место; порядке возрастания числа 1 a , 1 b и 1.
• если требуется соотнести некоторые объекты (например, графики,
обозначенные буквами А, Б, В, и формулы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4), то впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Если вы ошиблись при выборе ответа, то зачеркните отмеченную цифру 1 a 1 b 1 b 1 a 1 a 1 b 1 b 1 a
и обведите нужную: 1) , , 1 2) 1, , 3) , 1, 4) , , 1
1) 26 2) 20 3) 15 4) 10
В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите новый: 4 Найдите значение выражения x 4 + x 3 − при х = 1. 1
Ответ: х = – 12 х = 3 4 3
Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике. Если задание содержит рисунок, то на нём можно проводить нужные линии, отмечать точки, выполнять дополнительные построения. Ответ: ________________________
5 Из формулы периода обращения T = t выразите время вращения t.
N
Задания второй части выполняются на отдельном листе с записью хода Ответ: ________________________
Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению
решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать его номер. 6
( x − 4)( x − ? 2)
Желаем успеха! 1) ( x − 4)(2 − x )
2) − − ( x 4)(2 − x )
3) (4 − x x )( − 2)
4) − − (4 x )(2 − x )
7 Представьте выражение 6 m + 3 7 − m 2 в виде дроби.
m
Ответ: ________________________
© 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 3 © 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 4
Математика. 9 класс
8 Какое из данных выражений не равно выражению 20 ?
3
1) 2 5 2) 20 3) 10 4) 20
3 3 20 3 5 3
9 Решите уравнение x 2 + 7 x − 18 0 = .
Ответ: ________________________
10 Гипербола, изображённая на рисунке, задаётся уравнением y = 2 . Используя
x
рисунок, установите соответствие между системами уравнений и утверждениями. СИСТЕМЫ УТВЕРЖДЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
A) ? ? ? ? ? y y = = x 2 x + 1 1) система имеет одно решение
Б) ? ? ? ? ? y y = = 1 2 x − x 2) система имеет два решения
В) ? ? ? ? ? y y = = − x 2 2 3) система не имеет решений
Ответ: А Б В
11 Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см. Её
наклеили на белую бумагу так, что вокруг фотографии получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см
2 . Какова ширина окантовки?»
Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) (10 2 )(15 2 ) 500
+ x + x =
2) (10 + x )(15 + x ) 500 =
3) 10 15 (10 ⋅ + x + 15 ) 2 500 x ⋅ =
4) (10 2 )(15 + x + x ) 500 =
12 Решите неравенство 20 3 − ( x + 5 ) < − 1 7 x .
Ответ: ________________________
13 При каких значениях х верно неравенство x 2 + 2 x − < ? 3 0
Ответ: ________________________
14 Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие
a 25 < 0.
1) a n = 2 n 3) a n = − + 2 n 100
2) a n = − + 2 n 50 4) a n = 2 n − 100
15 График какой из перечисленных ниже функций изображён на рисунке?
1) y x = 2 + 4
2) y x = 2 + 4 x
3) y = − − x 2 4 x
4) y = − − x 2 4
16 Компания предлагает на выбор два разных тарифа для оплаты телефонных разговоров: тариф А и тариф В. Для каждого тарифа зависимость стоимости
разговора от его продолжительности изображена графически. На сколько минут хватит 550 р., если используется тариф В?
.
Ответ: ________________________ мин.
17 На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Ответ: ________________________
18 Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
Ответ: ________________________
Часть 2
При выполнении заданий 19–23 используйте отдельный лист. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение.
19 Решите уравнение x 3 − 6 x 2 − 4 x + 24 0 = .
20 Решите неравенство ( 19 4,5)(5 3 ) 0 − − x > .
21 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой
прогрессии.
22 Прямая y = 2 x b + касается окружности x 2 + y 2 = 5 в точке с положительной
абсциссой. Определите координаты точки касания.
23 Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот,
катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
Ответы к заданиям части 1
Правильный
Номер задания ответ
1 4
2 3
3 1
5
4 −
12
5 t TN =
6 2
7 3 m − 2
m
8 4
9 x 1 = 2, x 2 = − 9
10 231
11 1
12 x < − 1
–3 < x < 1
13 или ( 3;1) −
14 4
15 2
16 На 220 мин.
17 0, 995
18 На 10
Решения и критерии оценивания к заданиям части 2
19 Решите уравнение x 3 − 6 x 2 − 4 x + 24 0 = .
Ответ:–2; 2; 6. Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:
x x 2 ( − − 6) 4( x − = , 6) 0 ( x − 6)( x 2 − 4) 0 = , x − = или 6 0 x 2 − = . Значит, 4 0
уравнение имеет корни: –2; 2; 6.
Баллы Критерии оценивания выполнения задания
2 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
1 Ход решения правильный, многочлен в левой части уравнения разложен на множители, но при этом допущена ошибка в знаке, например, получен двучлен
x 2 + , ответ дан с учетом этой ошибки. 4
Или допущена описка на последнем шаге.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
Решите неравенство ( 19 4,5)(5 3 ) 0
20 − − x > .
Ответ: (1 ; 2 + ∞ . Другая возможная форма ответа: ) x > 1 2 .
3 3
Решение. 1) Определим знак разности 19 4,5 − . Так как 4,5 = 20,25 и
20,25 > 19 , то 19 4,5 0 − < .
2) Получаем неравенство 5 3 − x < . Отсюда 0 x > 1 2 .
3
Баллы Критерии оценивания выполнения задания
3 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
2 Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
21 В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой
прогрессии.
Ответ: 48, 60, 75. Решение. 1) Пусть ( )
b – данная геометрическая прогрессия. Составим n
систему ? ? ? ? ? b b q b q 1 1 + + b q 1 1 = 2 108, = 135. Далее: ? ? ? b q b 1 1 (1 (1 + + q q ) 108, ) 135, = = ? ? ? b q 1 ⋅ (1 108 135. + q = ) 108, =
Отсюда q = , 5 4 b 1 = 48 .
2) b 2 = 48 ⋅ = 5 4 60 , b 3 = 60 ⋅ = 4 5 75 .
Баллы Критерии оценивания выполнения задания
3 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный
ответ.
2 Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена одна
вычислительная ошибка и ответ отличается от правильного.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
22 Прямая y = 2 x b + касается окружности x 2 + y 2 = в точке с положительной 5
абсциссой. Определите координаты точки касания.
Ответ: (2; –1).
? ? y = 2 x b + ,
Решение. 1) Найдем значения b, при которых система ? ? ? x 2 + y 2 = 5 имеет
единственное решение. Выполнив подстановку, получим уравнение
x 2 + ( 2 x b + ) 2 = , т.е. 5 5 x 2 + 4 xb b + − = . 2 5 0
2) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:
D = 4 b 2 − 5 ( b 2 − = 5 ) 25 − . Решив b 2
1
уравнение 25 − b 2 = , получим 0 b = ± . 5
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: 2
y = x + и 5 y = 2 x − . 5
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение
5 x 2 + 4 xb b + − = : 2 5 0
при b = 5 получим уравнение x 2 + 4 x + = , откуда х = –2; этот корень не 4 0
удовлетворяет условию задачи;
при b = –5 получим уравнение x 2 − 4 x + = , откуда х = 2. 4 0
Найдем соответствующее значение у: 2 y = x − = 5 2 · 2 5 − = − . Координаты 1
точки касания (2; –1).
Замечания. 1) В первом шаге решения учащийся может опустить запись системы, подставив сразу
y = 2 x b + в уравнение окружности.
2) В третьем шаге учащийся может сначала выбрать касательную, удовлетворяющую условию задачи, а затем искать координаты точки касания; выбрать касательную учащийся может из графических соображений.
3) Решение задачи может быть геометрическим.
Баллы Критерии оценки выполнения задания
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
4
Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вычислительная ошибка или описка; или при верных вычислениях в ответе указаны координаты обеих точек касания.
3
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
Комментарий. Ошибки в составлении выражения D 1 (или D), в применении
формулы квадрата двучлена считаются существенными, и решение при их наличии не засчитывается.
23 Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот,
катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
2 5
Ответ: плот пройдет всего пути.
Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4х – х = 3х км/ч, а по течению 4х + х = 5х км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению – в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл S км, то катер – в 3 раза больше, т.е. 3S км. После встречи катер
3 S
пройдет 3S км, а плот – в 5 раз меньше, т.е. км. Всего плот пройдет
5
S + 3 S = 8 S . Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно
5 5
8 S
5 = . 2
4 S 5
Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и плота)
х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4х – х = 3х км/ч, а по течению 4х + х = 5х км/ч. Скорость сближения катера и плота равна
AB
х + 3х = 4х км/ч. Встреча произошла через ч. За это время плот проплыл
4 x
x ⋅ AB = AB км, а катер – 3 AB км. Обратный путь катер пройдет за
4 x 4 4
3 AB
4 = 3 AB ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное
5 x 20 x
x ⋅ 3 AB = 3 AB км, а всего он проплывет AB + 3 AB = 2 AB км.
20 x 20 4 20 5
Баллы Критерии оценивания выполнения задания
4 Ход решения верный, все его шаги выполнены, получен верный
ответ.
3 Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна
ошибка – в преобразованиях или в вычислениях, с её учетом дальнейшие шаги выполнены правильно.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.
© 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 13