зно математика 2007 с ответами

ЗНО » зно математика 2007 с ответами

МАТЕМАТИКА


ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ


Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

відповідність знань умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

рівень навчальних досягнень учнів;

ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних

закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального природничого фізико-математичного профілів а також для класів шкіл ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.


Частина 1


ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ


Розташуйте у порядку спадання числа ; ; .

А Б В Г Д

; ;

; ;

;;

; ;

;;

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.


Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте скільки грошей треба покласти на рахунок щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

А Б В Г Д
1150 1050 950 850 750

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.


З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того що це число є дільником числа 30?

А Б В Г Д

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.


Розв’яжіть нерівність

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.


Знайдіть область визначення функції .

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.


Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

А Б В Г Д
41 45 54 68 81

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.


Обчисліть .

А Б В Г Д
1

2

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів що містять тригонометричні функції.


Розв’яжіть рівняння tg=

А Б В Г Д

+

інша відповідь

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.


9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к і b.
Оберіть правильне твердження.



А

Б

В

Г

Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.


Укажіть парну функцію.

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.


Обчисліть

А Б В Г Д

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Властивості логарифма.


Розв’яжіть нерівність .

А Б В Г Д

(0; 10) (0,1; 10) (−10; 0)

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей використовуючи властивості логарифмічної функції.


Розв’яжіть рівняння

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.


Укажіть скільки дійсних коренів має рівняння .

А Б В Г Д
жодного один два три більше трьох

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.


Знайдіть первісну функції графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.


16. На рисунку зображений графік функції та дотичні до нього в точках та . Користуючись геометричним змістом похідної знайдіть .



А

Б

В

Г

Д

1

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.


Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В.


А Б В Г Д
30о 40о 50о 60о 70о

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.


Точка М – середина сторони квадрата АВСD. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 . Знайдіть площу всього квадрата.



А Б В Г Д

14

21

28

35

42

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.


Знайдіть координати точки М відносно якої симетричні точки і .

А Б В Г Д

інша відповідь

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.


Знайдіть об’єм тіла утвореного обертанням круга навколо свого діаметра довжина якого дорівнює а см.

А Б В Г Д

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.


Частина 2


ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ


Обчисліть

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.


Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.


Укажіть найменше ціле число яке є розв’язком нерівності

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.


На перегоні довжина якого дорівнює поїзд рухався зі швидкістю на

10 менше ніж мала бути за розкладом і запізнився на 48 . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.


Обчисліть

Правильна відповідь : 0 5

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.


Розв’яжіть рівняння . У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка. Враховуючи що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію коли рівняння мають кратні корені відповідь 8 також є правильною.


Розв’язання.

Знайдемо область визначення:

Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

звідси:

Рівняння має чотири корені з яких два рівні між собою. Корінь не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.


Розв’яжіть систему рівнянь

Запишіть у відповідь добуток якщо пара є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь у яких одне рівняння показникове а інше ─ логарифмічне.

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля після чого середній вік гравців що залишилися став 21 рік. Скільки років футболісту який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.


Обчисліть

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.


Знайдіть найбільше ціле значення параметра а при якому система рівнянь має два розв’язки.

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.


Знайдіть найбільше значення функції на проміжку .

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.


Знайдіть найменше ціле значення параметра а при якому рівняння має корені.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.


Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

добуток .

Правильна відповідь : 12 5.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.


Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15мЧ18мЧ25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.


35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 .

Компоненти програмових вимог що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.


Частина 3


ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ


36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC проведеною з вершини D та середньою лінією трикутника ASC що паралельна основі піраміди.


Правильна відповідь : .


Розв’язання (авторський варіант)



Нехай SABCD – задана правильна піраміда в основі якої лежить квадрат ABCD і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а тоді бічне ребро SA = 2a.

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC то MN || (ABC). Прямі MN та ND перетинаються в точці N тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо .

Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює тому середня лінія MN = .

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними то АО = ОС і ML = LN = .

З прямокутного трикутника .

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = .

З прямокутного трикутника .

Трикутник DNM рівнобедрений оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

.

Відповідь. .


Схема оцінювання


За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень одержує ще 1 бал.

Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN необхідні для знаходження кута він одержує ще 1 бал.

За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.


Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку а розглядає кут як кут трикутника DLN то в цьому випадку треба обґрунтувати що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

2. За обґрунтування того що учень одержує ще 1 бал.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN необхідні для знаходження кута він одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.


Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод то тоді має місце така схема оцінювання:

1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал.

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал.

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.


37. Побудуйте графік функції .


Розв’язання


Знаходимо область визначення функції тобто розв’язуємо нерівність Отже .

Знайдемо точки у яких модуль обертається в нуль тобто розв’яжемо рівняння звідки .

Якщо то .

Якщо то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.



Схема оцінювання


1. За правильно знайдене учень одержує 1 бал.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку то він одержує 1 бал.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку то він одержує ще 1 бал.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.


38. Розв’яжіть нерівність .

Правильна відповідь: при ;

при ;

при .


Розв’язання


Визначимо область допустимих значень параметра а: .

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність .

.


Якщо то розв’язком першої нерівності даної системи буде . Тоді розв’язком нерівності буде при <<1. Тобто розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1.

Якщо то розв’язком нерівності буде а нерівність не має розв’язків. Отже перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність .

Ураховуючи розв’язання попередньої системи .

Якщо то нерівність не має розв’язків. Отже друга система не має розв’язків.

Якщо то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .

Якщо то одержимо нерівність звідси .

Отже загальна відповідь: при ;

при ;

при .


Схема оцінювання


Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем то він одержує 1 бал.

За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові що друга нерівність розв’язана правильно учень одержує 1 бал.

За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові що друга нерівність розв’язана правильно учень одержує 1 бал.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.


Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал.

За правильно знайдені нулі функції ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра то учень одержує лише 1 бал.

За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали.

Якщо учень розглянув один з випадків або то він одержує лише 1 бал.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.


Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: а=1 то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь то він одержує 1 бал.

Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь то він одержує 2 бали.

Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь то він одержує 2 бали.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.