Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные методы
механики сплошных сред
Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург
2008
СодержаниеСодержание 2
1. Физическая мотивация 2
2. Математическая корректность 4
2.1 Существование решения 4
2.2 Единственность решения 5
2.3 Устойчивость решения 6
3. Аппроксимация 6
4. Численный метод 7
5. Тесты 8
Выводы 15
Список литературы 15
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины 
из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины h
– основание стержня, описываемое уравнением 
,
– основание стержня, описываемое уравнением 
,
– боковая поверхность стержня.
Сделаем следующие предположения:
стержень сделан из изотропного материала;
на стержень не действуют объемные силы;
боковая поверхность свободна от нагружений;
на и ;
на ;
на ;
на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
(1.2)
Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где 
– угол закрутки на единицу длины.
В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле 
минимизирует функционал
(1.3)
Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты 
, кроме 
и 
, равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:
(1.4)
Введем функцию тока 
и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения 
на части границы 
можно представить в виде:
(1.5)
С другой стороны, 
(1.6)
Следовательно, 
, т.е. 
на границе . Не умаляя общности, можем положить 
на . Значит, 
.
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
, 
– предел текучести материала. (1.7)
В данном примере, 
. Отсюда, 
почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах 
, получаем
(1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1: Найти 
такое, что достигает минимума функционал
,
где 
, (1.9)
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить 
.
Если ввести билинейную форму 
, элемент 
и скалярное произведение 
, то задача З1 запишется в виде
(1.10)
или в форме вариационного неравенства: 
(1.11)
2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
ее решение существует (условие существования);
решение единственно (условие единственности);
решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово пространство,
Подмножество 
является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что 
– непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть 
: 
в
Тогда 
в 
и 
в , при 
Следовательно, 
,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.
2.2 Единственность решения Утверждение 1. Билинейная форма 
– V-эллиптическая.
Доказательство: 
(в силу эквивалентности норм в пространстве 
);
Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные 
, которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено: 
(2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1) 
вместо 
, в (2.2.2) 
вместо .
Получим 
(2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1: 
Отсюда, 
Форма 
– эллиптическая, 
.
Окончательно, 
2.3 Устойчивость решения
Решение 
должно удовлетворять неравенству (2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как 
(2.3.2)
Неравенство (2.3.2) выполняется для 
: 
(2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)
Тогда 
(2.3.6)
- первое основное неравенство
, иначе 
Рассмотрим семейство конечномерных пространств 
, каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства 
.
Будем строить по схеме метода конечных элементов.
Построим триангуляцию области . В результате получим область
, где 
– число треугольников в разбиении, 
– i-тый треугольник разбиения.
Для каждого узла триангуляции 
построим аффинную функцию 
, обладающую следующими свойствами:
, где 
– вершины, смежные с
, где 
– семейство полиномов первого порядка.
Составим пространство из построенных функций .
Теперь необходимо аппроксимировать множество 
, заданное формулой (1.9).
Пусть 
. Тогда 
.
Покажем, что множество 
аппроксимирует .
От противного: Пусть 
такие, что 
Но, по свойству предельной плотности
. Следовательно, 
, т.е. 
.
Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств 
требуемое свойство выполнено.
2) 
слабо.
(конечномерное пространство), значит 
сильно, 
Запишем задачу З1: найти такое, что
Наряду с ней сформулируем задачу З2:
найти 
такое, что 
При сделанных предположениях относительно 
.
Для решения задачи З2 будем использовать метод штрафа.
Исходная вариационная задача: 
(4.1)
Построим вспомогательный функционал
(4.2)
– функция штрафа. (4.3)
, если 
, если 
Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу 
. По свойствам функционала 
ее решение 
существует и единственно.
Кроме того, 
– выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].
Производная Гато функции 
: 
Тогда задача эквивалентна решению уравнения
(4.4)
(4.5)
Можно показать, что 
– монотонный оператор и 
, если [3].
Следовательно, решение вариационной задачи 
.
Замечания по реализации:
Неизвестную функцию решения 
будем искать в виде:
, (4.6) где 
– число узлов триангуляции,
– значение функции в i-том узле,
– базисная функция из пространства 
.
Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по 
:
Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.
Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.
В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.
1) 
. Точное решение задачи 
.
На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .
Рис.2 Число узлов = 29
Рис.3 Число узлов = 146
Рис.4 Число узлов = 270
Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину 
, характеризующую относительную погрешность.
Здесь 
– точное решение, 
– численное решение;
, где – число узлов.
В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.
| № теста | Число элементов | Число узлов | Относит.погрешность |
| 1 | 40 | 29 | 0.03035 |
| 2 | 258 | 146 | 0.00631 |
| 3 | 490 | 270 | 0.01735 |
| 4 | 1032 | 549 | 0.00219 |
Таблица 1 Результаты сравнения (1).
2) 
. Точное решение задачи 
.
На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .
Рис.6 Число узлов = 29
Рис.7 Число узлов = 146
Рис.8 Число узлов = 270
Рис.9 Число узлов = 549
Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.
| № теста | Число элементов | Число узлов | Относит.погрешность |
| 1 | 40 | 29 | 0.18035 |
| 2 | 258 | 146 | 0.08561 |
| 3 | 490 | 270 | 0.04981 |
| 4 | 1032 | 549 | 0.03484 |
Таблица 2 Результаты сравнения (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,
Рис.10 Число узлов = 27
Рис.11 Число узлов = 177
На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,
Рис.12 Число узлов = 144
Выводы
В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачи существует и единственно.
Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.
Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.
Список литературы
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.