Характеристичне рівняння
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами
1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами
Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.
1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду
(12.38)
де і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).
Справді, запишемо та :
Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо
Оскільки маємо
(12.39)
Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:
1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;
2) і - комплексні числа ();
3) і - дійсні рівні числа
Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.
1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:
Відповідні частинні розв’язки та
лінійно незалежні, бо
Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд
(12.40)
де і - довільні сталі.
2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:
або
Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:
а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.
Зауважимо, що розв’язки та лінійно незалежні:
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд
(12.41)
де і - довільні сталі.
3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1): Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді де - невідома функція. Знайдемо і :
Підставимо та у рівняння (12.38):
(12.42)
Оскільки - корінь характеристичного рівняння, а дискримінант дорівнює нулю (корінь кратний), то або Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на набуває вигляду . Його загальний розв’язок отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Зокрема, якщо вибрати , розв’язок буде лінійно незалежним відносно :
Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд
(12.43)
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
а) б) в)
У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд або Звідси маємо (випадок1).
Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція .
У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: (випадок 2). При цьому Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде
У прикладі в) корені і характеристичного рівняння збігаються: Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд
Приклад 2. Матеріальна точка маси рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.
Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила, з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (- час)
.
Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді
(12.44)
Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння
причому Корені та - комплексно спряжені числа Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд
(12.45)
Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам .
Поклавши у рівність (12.45), отримаємо Про диференціюємо обидві частини (12.45):
При звідси Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде
Другие работы по теме:
Основи формальної кінетики. Швидкість хімічної реакції
Основні чинники, які впливають на швидкість хіміко-технологічного процесу. Рівняння швидкості масопередачі гетерогенних процесів. Способи визначення приватного порядку. Метод підбора кінетичного рівняння. Графічний метод визначення порядку реакції.
Коливання фізичного маятника
Використання фізичного маятника з нерухомою віссю обертання античними будівельниками. Принцип дії фізичного маятника. Пошук обертаючого моменту. Період коливань фізичного маятника та їх гармонійність. Диференціальне рівняння руху фізичного маятника.
Розрахунок двошарнірної арки методом сил
Методика розрахунку двошарнірної арки із постійними жорсткостями. Кінематичний аналіз і визначення кількості невідомих методу сил. Вибір основної системи методу сил, запис канонічного рівняння. Побудова і перевірка епюр внутрішніх зусиль для заданої арки.
Визначення залежності між ознаками якості. Рівняння регресії
Методика и основні етапи визначення параметрів лінійної регресії методом найменших квадратів, використовуючи дані, які характеризують залежність кількості виходу речовини від вмісту добавки. Побудування та зображення отриманого рівняння регресії.
Визначення залежності між ознаками якості. Рівняння регресії
Лабораторна робота Тема: «Визначення залежності між ознаками якості. Рівняння регресії.» Задача. Визначте параметри лінійної регресії, використовуючи дані, які характеризують залежність кількості виходу речовини (y) від вмісту добавки (x) та побудуйте рівняння регресії. Дані, потрібні для розрахунку параметрів регресії, наведені у таблицях по варіантах.
Математичне моделювання та диференціальні рівняння
Реферат на тему: Математичне моделювання та диференціальні рівняння. 1.1. Поняття математичного моделювання. Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів.
Диференціальні рівняння першого порядку,
Реферат на тему: Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної. 1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.
Диференціальні рівняння вищих порядків
ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра економічної кібернетики ЗВІТ з навчальної практики на тему: «Диференціальні рівняння вищих порядків»
Аналітична геометрія
Реферат на тему: Аналітична геометрія в просторі Аналітична геометрія в просторі Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора
Диференціальне рівняння
Основи означення. Диференціальні рівняння І порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв'язку. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Реферат З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “” План 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом 1.3.
Метод наближеного обчислення коренів. Програма
Межі дійсних коренів. Опис та текст програми. Методи наближеного пошуку меж та самих коренів многочлена з дійсними коренями. Метод пошуку точних значень многочленів з числовими коефіцієнтами. Контрольний приклад находження відрізків додатних коренів.
Метод Лобачевського-Греффе
Задачі, ідея та формули методу Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь, особливості конкретні приклади його використання у випадку дійсних різних коренів. Загальні властивості алгебраїчних рівнянь. Загальна характеристика процесу квадратування коренів.
Тренд-аналіз геологічних даних
В складних умовах геологічної будови об’єктів при мозаїчному характері розподілу локальних аномалій ознаки, яка вивчається, виділення напрямків регіональної тенденції його ззміни часто представляє важку задачу при традиційному графічному зображенні, оскільки при цьому звичайно вносяться суб’єктивні представлення априорних геологічних концепцій.
Розв язання раціональних рівнянь
Розв’язання раціональних рівнянь 2002 Для нашого часу характерна інтеграція наук, прагнення отримати найточніші уявлення про загальну будову світу. Ці ідеї знаходять своє відображення і в концепції освіти. Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому.
Поверхні другого порядку
Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)
Рівняння Бернуллі
Рівляння виду де п не дорівнює нулю або одиниці, називається рівнянням Бернуллі. Якщо п = 0 , то рівняння збігатиметься з лінійним. Якщо п = 1, то після об'єднання Р(х) з Q(x) дістанемо лінійне однорідне рівняння
Затухання у металі, скін – шар
Лекція 3 . У попередньому пункті ми записали ЕМХ як , для металу , тоді маємо . Оскільки . В металі хвиля затухає як . Глибина, на якій хвиля спадає в раз називається скін – шаром.
Аналітична геометрія на площині
Реферат на тему: Аналітична геометрія на площині Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння y = kx + b (2.3) де k=tg ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
Інтегруючий множник
Реферат на тему: 1.Рівняння в повних диференціалах Якщо ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції , тобто і, таким чином, рівняння приймає вигляд
Збудження об’ємних резонаторів
Лекція 18 . Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора. , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: