Задача 5.
Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ.
Загальна постановка задачі
В сільському господарстві земля - основний засіб виробництва. Її необхідно використовувати з максимальним економічним ефектом, постійно дбаючи про родючість. Успішне рішення задачі раціонального використання землі багато в чому залежить від обґрунтованої структури посівних площ.
Оптимальна структура посівних площ являє собою відображення спеціалізації рослинництва у вигляді такого співвідношення посівних площ по культурах, яке забезпечує отримання максимальної кількості сільськогосподарської продукції.
Постановка задачі: виходячи з виробничих ресурсів (земельних, трудових, матеріальних, тощо) визначити оптимальну структуру посівних площ, яка забезпечить виконання плану продажу продукції по видах, внутрішні потреби господарства в продукції, агрономічні та сівозмінні вимоги при максимальному економічному ефекті.
В якості критерію оптимальності може бути:
- максимум отримання прибутку від виробництва;
- максимум виробництва валової та товарної продукції в грошовому виразі;
- максимум виробництва конкретної продукції (зерна, картоплі, тощо).
Для розробки економіко-математичної моделі необхідна така інформація:
- розмір площі ріллі, сінокосів, пасовищ;
перелік сільськогосподарських культур, що вирощуються в даній кліматичній зоні, їх можлива врожайність;
- затрати праці та коштів на 1га посіву;
- виручка від реалізації продукції (з 1га або одиниці продукції);
- наявність виробничих ресурсів в господарстві, норми витрат їх на 1га;
- потреба тварин в кормах по видах;
- план продажу та внутрішня потреба господарства по видах продукції;
агротехнічні вимог та можливі межі входження окремої культури або групи культур в сівозміну.
Економіко-математичну модель можна представити в загальному виді.
Знайти максимум функції:
при обмеженнях:
- виробничі ресурси господарства обмежені:
окремі культури та групи культур в сівозміну вводяться в обґрунтованих агротехнічними вимогами межах:
;
дотримується співвідношення окремих культур (наприклад: для отримання збалансованих концентрованих кормів, страхові культури, ...):
- обмеження, на отримання продукції даного виду не менше заданої кількості:
- при умові невід’ємності змінних:
де:
- прибуток з 1га j-ї культури;
- площа посіву j-тої культури;
- затрати ресурсів i-го виду на 1га j-ї культури;
- наявність виробничих ресурсів i-го виду;
- нижня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
- верхня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
- урожайність j-тої культурі;
- необхідна кількість i-го виду продукції;
- коефіцієнти пропорційності.
Умова задачі
Господарство має 1200га оранки, на яких може вирощувати зернові та просапні культури.
Площа зернових у структурі посівних площ повинна бути від 40 до 60%, площа цукрових буряків не повинна перевищувати 15%, а площа соняшника або картоплі – не більше 10%. Площа озимих повинна бути не більше 50% від максимальної площі зернових. Площа ярої пшениці співвідноситься до площі озимої пшениці як 1:10.
Підприємство повинно виробити не менше:
- 15600ц зерна (в тому числі 7050ц пшениці);
10500ц цукрового буряку;
1050ц соняшника;
530ц проса або гречки.
Крім цього для галузі тваринництва необхідно:
соломи – 17400ц;
кукурудзи на силос (зелений корм) – 15570ц
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від товарної продукції рослинництва.
Культури для розробки економіко-математичної моделі наведено в таблиці 7, вихідні дані взяти довільно з заданого діапазону (таблиця 1).
Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть площі під кожну культуру (Х1, Х 2, ..., Х8), валові збори культур (Х9, Х10, ..., Х16), загальні витрати на виробництво продукції (Х17), витрати на виробництво товарної продукції (Х18), виручка від реалізації товарної продукції рослинництва (Х19).
Таблиця 1
Культури, що будуть висіватися в господарстві
| Варіант | Зернові | Просапні | ||||||
| 3 | озима пшениця | яра пшениця | ячмінь | гречка | просо | цукровий буряк | соняшник | кукурудза на з/к |
Таблиця 2
Вихідні дані для розробки економіко-математичної моделі
| Культура | Урожайність, ц/га | Затрати на 1 га, грн. | Ціна реалізації 1ц, грн. | |
| основна продукція | побічна продукція | |||
| Озима пшениця | 45 | 55 | 600 | 40 |
| Яра пшениця | 30 | 30 | 480 | 40 |
| Гречка | 12 | 480 | 44 | |
| Ячмінь | 35 | 35 | 300 | 38 |
| Просо | 20 | 25 | 450 | 29 |
| Цукровий буряк | 280 | 2300 | 16 | |
| Соняшник | 23 | 650 | 90 | |
| Кукурудза на з/к | 250 | 300 | ||
Рішення
На 19-ть змінних задачі накладено 25 обмежень:
1-ше обмеження стосується використання наявної площі:
1X1+1X2+1X3+1X4+1X5+1X6+1X7+1X8<=1200, де:
X1,X2, ..., X8 – площі сільськогосподарських культур.
2-ге та 3-тє обмеження задають верхню та нижню межу насиченості сівозміни зерновими культурами, питома вага яких повинна бути від 40% до 60%.
1X1+1X2+1X3+1X4+1X5720 (60%)
1X1+1X2+1X3+1X4+1X5480 (40%), де
X1,X2,X3,X4,X5 – площі зернових культур.
4-те, 5-те та 6-те обмеження описують максимальну площу цукрових буряків, озимих та картоплі відповідно, так 4-те стосується площі цукрових буряків:
1X6180 (15%), де:
X6 – площа цукрових буряків.
7-ме обмеження характеризує співвідношення між площею посіву озимої пшениці та ярої пшениці:
1X1-10X2=0, де:
X1 – площа озимої пшениці;
X2 – площа ярої пшениці.
Група обмежень з 8-го по 12-те задають нижню межу виробництва певної продукції, так 8-ме обмеження характеризується валового збору зерна, який повинен бути на менше 15600 ц:
1X9+1X10+1X11+1X12+1X13>=15600; де:
X9,X10,X11,X12,X13 – валові збори озимої пшениці, ярої пшениці, гречки, жита, гороху відповідно.
13-те та 14-те обмеження забезпечать задоволення потреб тваринництва в соломі та силосі відповідно, так 13-те має вигляд:
55X1+30X2+35X4+25X5>=17400; де:
X1,X2,X4,X5 – площі зернових культур: озимої пшениці, ярої пшениці, жита та гороху відповідно (коефіцієнти при цих змінних - урожайність соломи відповідних культур).
Обмеження з 15-го по 22-ге забезпечують зв’язок між площею посіву та валовим збором по кожній сільськогосподарській культурі, 15-те обмеження стосується озимої пшениці:
45X1-X9=0; де:
X1 – площа озимої пшениці (32 – урожайність озимої пшениці);
X9 – валовий збір озимої пшениці.
23-те обмеження акумулює затрати на виробництво продукції:
600X1+480X2+30X3+480X4+450X5+2300X6+650X7+300X8 – X17=0; де:
X1,X2, ..., X8 – площі сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X17 – загальні затрати на виробництво продукції, грн.
24-те обмеження характеризує затрати на виробництво товарної продукції:
600X1+480X2+30X3+480X4+450X5+2300X6+650X7 – X18=0; де:
X1,X2, X3, X4, X5, X6, X7 – площі товарних сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X18 – загальні затрати на виробництво товарної продукції, грн.
25-те обмеження стосується виручки від реалізації товарної продукції:
40X9+40X10+38X11+44X12+29X13+16X14+90X15-X19 =0; де:
X9,X10,X11,X12,X13,X14,X15 – валові збори с/г культур (коефіцієнти при змінних – ціна реалізації 1 ц продукції, грн.);
X19 – виручка від реалізації товарної продукції рослинництва, грн.
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від виробництва товарної продукції рослинництва:
1X19–1X18max.
Економіко-математичну модель оптимізації посівних площ можна представити в табличному вигляді.
| Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ | |||||||||||||||||||||||
| № | Площі с/г культур, га | Валовий збір, ц | Затрати на виробництво продукції, грн. | Затрати на виробництво товарної продукції, грн. | Виручка від реалізації товарної продукції, грн. | Тип та розмір обмежень | № | ||||||||||||||||
| Озимої пшениці | Ярої пшениці | Гречки | Жита | Гороху | Цукрового буряку | Картоплі | Кукурудзи на силос | Озимої пшениці | Ярої пшениці | Гречки | Жита | Гороху | Цукрового буряку | Картоплі | Кукурудзи на силос | ||||||||
| Змінні | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | х6 | х7 | х8 | х9 | х10 | х11 | х12 | х13 | х14 | х15 | х16 | х17 | х18 | х19 | ||||
| Обмеження | |||||||||||||||||||||||
| | Площа ріллі | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | <= | 1200 | 1 | |||||||||||
| | Площа зернових max | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | <= | 720 | 2 | ||||||||||||||
| | Площа зернових min | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | >= | 480 | 3 | ||||||||||||||
| | Площа цукрових буряків | 1 | <= | 180 | 4 | ||||||||||||||||||
| | Площа озимих | 1 | <= | 360 | 5 | ||||||||||||||||||
| | Площа картоплі | 1 | <= | 120 | 6 | ||||||||||||||||||
| | Співвідношення площі ярої пшениці до площі озимої | 1 | -10 | = | 0 | 7 | |||||||||||||||||
| | Збір зерна | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | >= | 15600 | 8 | ||||||||||||||
| | Збір пшениці | 1 | 1 | >= | 7050 | 9 | |||||||||||||||||
| | Збір цукрового буряку | 1 | >= | 10500 | 10 | ||||||||||||||||||
| | Збір гречки | 1 | >= | 530 | 11 | ||||||||||||||||||
| | Збір картоплі | 1 | >= | 8720 | 12 | ||||||||||||||||||
| | Потреба тваринництва в соломі | 40 | 30 | 25 | 16 | >= | 17400 | 13 | |||||||||||||||
| | Потреба тваринництва в силосі | 178 | >= | 15570 | 14 | ||||||||||||||||||
| | Виробництво пшениці озимої | 32 | -1 | = | 0 | 15 | |||||||||||||||||
| | Виробництво пшениці ярої | 30 | -1 | = | 0 | 16 | |||||||||||||||||
| | Виробництво гречки | 9 | -1 | = | 0 | 17 | |||||||||||||||||
| | Виробництво жита | 25 | -1 | = | 0 | 18 | |||||||||||||||||
| | Виробництво гороху | 16 | -1 | = | 0 | 19 | |||||||||||||||||
| | Виробництво цукрового буряку | 226 | -1 | = | 0 | 20 | |||||||||||||||||
| | Виробництво картоплі | 190 | -1 | = | 0 | 21 | |||||||||||||||||
| | Виробництво кукурудзи | 178 | -1 | = | 0 | 22 | |||||||||||||||||
| | Витрати на виробництво продукції | 540 | 320 | 380 | 356 | 397 | 1865 | 1921 | 302 | -1 | = | 0 | 23 | ||||||||||
| | Затрати на виробництво товарної продукції | 540 | 320 | 380 | 356 | 397 | 1865 | 1921 | -1 | = | 0 | 24 | |||||||||||
| | Виручка від реалізації товарної продукції | 40 | 40 | 44 | 28 | 45 | 16 | 50 | -1 | = | 0 | 25 | |||||||||||
| Цільова функція (прибуток), грн. | -1 | 1 | max | ||||||||||||||||||||