Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»
Житомир
Зміст
Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку
Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0
+a1
x+a2
x2
+a3
x3
+a 4
x4
+a5
x5
з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4
Вихідні дані:
Варіант |
a0
|
a1
|
a2
|
a3
|
a4
|
a5
|
2 |
1 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.5 |
2.3 |
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.
Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули
Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд
де cj
= 1,2,2,2,….2,1.
Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою
Елементарна площа визначається інтегралом
Враховуючи, що
Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)
де cj
= 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0
+a1
x+a2
x2
+a3x3
за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
Варіант |
a0
|
a1
|
a2
|
a3
|
2 |
1,3 |
-7 |
-4 |
-4 |
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈
0,17
2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5
.
В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове k-е наближення:
В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:
При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для першого наближення:
Для подальших наближень:
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.
Вихідні дані:
Варіант 2 |
x |
0 |
0,375 |
0,563 |
0,75 |
1,125 |
1,313 |
1,5 |
1,690 |
1,875 |
2,063 |
2,25 |
2,438 |
2,625 |
2,813 |
3 |
y |
4.568 |
3,365 |
2,810 |
2,624 |
0,674 |
0,557 |
0,384 |
-0,556 |
-1,44 |
-1,696 |
-1,91 |
-2,819 |
-3,625 |
-3,941 |
-4,367 |
Хід виконання:
1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .
3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.
4. На одному графіку будуємо многочлени Pm
, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.
Реалізація у MS Excel:
Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі
у відповідних степенях та уі
*хі
j
За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:
Визначаємо обернені матриці Х-1
до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).
Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1
та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).
Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі
, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі
.
Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.
Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:
Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції
Завдання № 5
Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0
, y0
), вибираючи крок інтегрування h, де
y(xi
+h)=y(xi
)+h·y'(xi
)
Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.
Вихідні дані:
Варіант |
h |
[a, b] |
(x0
, y0
) |
|
2 |
0,2 |
[0;1] |
(0;1) |
|
Реалізація у MS Excel:
Графіки розрахованих даних:
Другие работы по теме:
Подбор сечения для сжатого стержня
Задача №2. Для заданого стержня із розрахунку знайти переріз. Розв’язання. Перше наближення. Приймаємо φ =0,5 [ № 16а, А =19,5 см , Jz=823 см
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Інтегрування раціональних функцій
Пошукова робота на тему: Інтегрування раціональних функцій. План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Диференціальні рівняння вищих порядків
ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра економічної кібернетики ЗВІТ з навчальної практики на тему: «Диференціальні рівняння вищих порядків»
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Інтегруючі кола фільтр низьких частот
Курс: Комп’ютерна Електроніка Тема: Інтегруючі кола (Фільтр низьких частот) 1. Визначення інтегруючого кола і його призначення Інтегруючим колом (інтегратором) називають ланцюг (чи пристрій), призначений для виконання операції інтегрування, тобто для одержання вихідної напруги
Чисельне розв’язання задач оптимального керування
Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності. Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням. Оптимальне стохастичне керування. Мінімаксне керування.
Розрахунок диференційної сиcтеми в MatLab
Структурна схема моделі (пакет MATLAB) та її описання. Математична модель у вигляді передавальних функцій, у вигляді диференційного рівняння. Алгоритм рішення (рекурентне співвідношення) та його програмна реалізація. Системи диференційних рівнянь.
Дослідження чисельних методів інтегрування
Дослідження методів чисельного інтегрування Чебишева та Трапеції, порівняння їх точності. Способи розробки програми на компіляторі Turbo C++, яка знаходить чисельне значення вказаного інтегралу. Обґрунтування вибору інструментальних засобів програми.
Наукове дослідження інформаційного забезпечення web сайту вищого навчального закладу України
Наукове дослідження інформаційного забезпечення web – сайту вищого навчального закладу України Сьогодні набуває актуальності проблема інформаційного забезпечення web – сайту вищого навчального закладу України забезпеченням наукової діяльності. Основою інформаційної підтримки інноваційних процесів є структуровані інформаційно-освітні ресурси (портали) і сучасні інформаційно-комунікаційні технології, що забезпечують ефективне використання учасниками інноваційних процесів цих інформаційно-освітніх ресурсів.
Неперервність та функція
ФУНКЦІЙ ТЕОРІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей різних функцій. Теорія функцій поділяється на дві області: теорію функцій дійсного змінного і теорію функцій комплексного змінного, відмінність між якими настільки велика, що звичайно їх розглядають як дві різні галузі. Не вдаючись в деталі, можна сказати, що по суті мова йде про відмінність, з одного боку, в детальному вивченні основних понять математичного аналізу (таких, як неперервність, диференціювання, інтегрування і т.п.), а з іншого боку, в теоретичному розвитку аналізу конкретних функцій, представлених степенними рядами.
Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною інтегрування. Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу
Програмування рядкових величин
Тема 7. . 1. Поняття рядкової величини. Величиною рядкового типу ( strings ) називається послідовність символів, укладена в одинарні лапки. Цей тип даних є стандартним для мови ПАСКАЛЬ, хоча він є структурованим. Величини можуть бути як константами, так і змінними. При завданні змінних символьного типу можна вказати кількість символів у цій величині.
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Синтез НВЧ – елементів
Лекція 38 . Зараз існує синтез лише пасивних елементів. Фільтри НВЧ. Існують методи синтезу по Каеру та Форстру. Виходять з характеристик фільтру. Синтезується лише ФНЧ, інші отримують за допомогою нескладних перетворень.
Про систему задач для вивчення інтеграла
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер.
Інтегрування ірраціональних виразів
Пошукова робота на тему: Інтегрування ірраціональних виразів. План Інтегрування деяких ірраціональних функцій Інтеграли від виразів Підстановки Чебишева