МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра радіотехніки
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з курсу «Сигнали та процеси»
Варіант № 9
Черкаси 2010
Варіант 9
Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису
Теорема Котельникова (у англомовній літературі - теорема Найквіста - Шенона) свідчить, що, якщо аналоговий сигнал має обмежений спектр, то він може бути відновлений однозначно і без втрат по своїх дискретних відліках, узятих з частотою більш подвоєної максимальної частоти спектру :
де - верхня частота в спектрі, або (формулюючи по-іншому) по відліках, узятих з періодом , частіше за напівперіод максимальної частоти спектру
Пояснення:
Таке трактування розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно і ніколи не закінчиться, а також не має в тимчасовій характеристиці точок розриву. Саме це має на увазі поняття «спектр, обмежений частотою ».
Зрозуміло, реальні сигнали (наприклад, звук на цифровому носієві) не володіють такими властивостями, оскільки вони кінцеві за часом і, зазвичай, мають в тимчасовій характеристиці розриви. Відповідно, їх спектр безконечний. В такому разі повне відновлення сигналу неможливе і з теореми Котельникова витікають 2 слідства:
Будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю по своїх дискретних відліках, узятих з частотою
де - максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.
2. Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти переривання, то способи відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворень не існує.
Кажучи ширше, теорема Котельникова стверджує, що безперервний сигнал можна представити у вигляді інтерполяційного ряду
де - Інтервал дискретизації задовольняє обмеженням Миттєві значення даного ряду є дискретні відліки сигналу .
Згодом було запропоновано велике число різних способів апроксимації сигналів з обмеженим спектром, узагальнювальних теорему відліків. Так, замість кардинального ряду по sinc-функціям, що є характеристичними функціями прямокутних імпульсів, можна використовувати ряди по конечно або бесконечнократним сверткам sinc-функцій.
Наприклад, справедливо наступне узагальнення ряду Котельникова безперервної функції з фінітним спектром на основі перетворень Фур'є атомарних функцій:
де параметри задовольняють нерівності , а інтервал дискретизації
З неперервного сигналу s(t) = 10cos(2π800t)В беруться ідеальні відліки з частотою fВ = 400Гц. Отримані дискретні сигнали пропускаються через ідеальний ФНЧ з частотою зрізу 0,4fВ. Необхідно визначити сигнал, відновлений за допомогою фільтрації
Схема включення ФНЧ (рис. 1).
Рисунок 1 - Сигнал s(t) = 10cos(2π800t) В
Рисунок 2 – Гармоніка
Балансна амплітудна модуляція
У амплітудно-модульованому (АМ) сигналі:
значна доля потужності зосереджена в несучому коливанні
Для ефективнішого використання потужності передавача можна формувати Ам-сигнали з пригніченим несучим коливанням, реалізовуючи так звану балансну амплітудну модуляцію (рис. 3).
Рис. 3
Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією має вигляд:
Такий сигнал з фізичної точки зору є биттям двох гармонійних сигналів з однаковими амплітудами і частотами і Під час переходу тієї, що огинає биття через нуль фаза високочастотного заповнення стрибком змінюється на 180о, оскільки функція має різні знаки справа і зліва від нуля. Здійснення балансної модуляції, як і зворотного процесу демодуляції (детектування), технічно складніше, ніж при звичайній амплітудній модуляції.
Задані параметри коливання з односмуговою АМ: А0 = 25 В, Е = 1,5 В, θ0= π/4, γ = π/3, f0 = 20 кГц, F = 4 кГц. Записати вираз для аналітичного сигналу і комплексної обвідної заданого коливання
uΩ(t)= UΩsinΩt
u(t) = Uω sinω0t + m Uω/2 sin(ω0 + Ω) t+ m Uω/2 sin(ω0 - Ω) t
u(t) = (Uω + UΩ sinΩt) sinω0t
u(t) = (А0 + Е sin(f0 t+ θ0) )sin (F t + γ ) =(25 + 1,5 sin(20 t + π/4) )sin (2 t + π/3).
Другие работы по теме:
Комплексний аналіз часових рядів
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Лабораторна робота № 6 Тема : «Комплексний аналіз часових рядів»
Основные формулы
Электростатика. - закон Кулона. - напряженность электрического поля - принцип суперпозиции полей. - поток через площадку S. - теорема Гаусса. - теорема о циркуляции.
Пропускная способность канала
Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева Кафедра Радиоуправления Пояснительная записка к курсовой работе по курсу ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Число пи четверками
Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Алгоритми Маркова
Нове уточнення поняття алгоритму вітчизняним математиком Марковим: 7 уточнених ним параметрів. Побудова алгоритмів з алгоритмів. Універсальний набір дій по управлінню обчислювальним процесом. Нормальні алгоритми Маркова. Правило розміщення результату.
Теорема Котельникова
Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации
Геометрическое и гипергеометрическое распределение
Геометрическое распределение. Определение. Дискретная случайная величина Х=т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,..., т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
Дискретизация обычных и двумерных сигналов
Теорема дискретизации или Котельникова. Соотношение между непрерывными сигналами и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – отсчетами. Получение спектра дискрeтизованной функции. Дискретизация реальных сигналов (речь, музыка).
Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису
Зміст теореми Найквіста-Шенона. Задача на визначення сигналу, відновленого за допомогою фільтрації. Схема включення ФНЧ. Балансна амплітудна модуляція. Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією. Аналітичний сигнал обвідної заданого коливання.
Конституція її місце і значення
Конституція – це основний закон, і разом з іншими законами вона відноситься до права і законодавства, яким присвячені наступні частини книги. Будучи Основним Законом, Конституція являє собою в той же час центральний інститут держави, покликана звести в єдину структуру, у целостною систему всі інші його інститути – і політичний режим, і побудова апарата держави, і його форми (як форму правління, так і форму державного устрою).
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.