1.
Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n-арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.
Введем необходимые определения.
Определение 1.1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XxY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x X, yY.
Определение 1.2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения XxY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.
Пример 1.1. Пусть X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда множество кортежей a={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X в Y.
Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества a декартова произведения XxY, а путем указания свойства пар (x, y), принадлежащих этому подмножеству
a. Например, отношение a= {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множестве X = {4, 3, 2} можно определить как свойство "Делится" на этом подмножестве целых чисел.
Хорошо известными примерами отношений из школьного курса математики являются:
на множестве целых чисел Z отношения "делится", "делит", "равно", "больше", "меньше", "взаимно просты";
на множестве прямых пространства отношения "параллельны", "взаимно перпендикулярны", "скрещиваются", "пересекаются", "совпадают";
на множестве окружностей плоскости "пересекаются", "касаются", "концентричны".
Факт принадлежности кортежа (x, y) соответствию a, часто обозначают с помощью так называемой инфиксной формы записи: xay. Типичными примерами таких записей из курса математики являются: x > y, a = b, 84, m||l, a b и т. п.
Отношения могут задаваться формулами:
формулы
y = x2 +5x - 6 или
задают бинарные отношения на множестве действительных чисел;
формула
x + y = любовь,
задает бинарное отношение на множестве людей. Этому отношению принадлежит любая пара людей, между которыми существует любовь.
Задание отношений в виде формул достаточно широко распространено. Об этом свидетельствуют многочисленные надписи на деревьях заборах или стенах домов типа:
"Вася + Таня = любовь",
увековечивающие принадлежность конкретной пары (Вася, Таня) отношению "любовь".
Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = {a, b, c, d, e}.
Вначале рассмотрим метод, восходящий к аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1).
Рис. 1. Координатная сетка
Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y) . На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению a= {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}.
Рис. 2. Бинарное отношение a
Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании ориентированных графов. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения a дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения a изображен на рисунке 3.
Рис. 3. Граф бинарного отношения
Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется матричный способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X = {x1, x2, ..., xn} и определим матрицу отношения A = [aij] следующим образом:
Таким образом, матрица отношения a, представленного графом на рисунке 3, имеет вид
Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.
Другие работы по теме:
Метаязык
Метаязык - язык описания, язык "второго порядка", при помощи которого описываются языки-объекты. Термин метаязык возник и математике и математической логике , где в качестве метаязыка выступают формальные символы, связки, кванторы и операторы.
Холодильная машина
олодильная машина, устройство, служащее для отвода теплоты от охлаждаемого тела при температуре более низкой, чем температура окружающей среды. Холодильная машина используются для получения температур от 10 °С до -150 °С. Область более низких температур относится к криогенной технике. Холодильная машины работают по принципу теплового насоса - отнимают теплоту от охлаждаемого тела и с затратой энергии (механической, тепловой и т.д.) передают её охлаждающей среде (обычно воде или окружающему воздуху), имеющей более высокую температуру, чем охлаждаемое тело.
Функции мозговых волн
Исследователи подсчитали, что если все 10 миллиардов нейронов мозга разрядить в один момент, приставленный к голове электрод зафиксировал бы напряжение более пяти миллионов вольт.
Фундаментальная группа. Конечные поля
Конечные поля Цель работы: Изучить конструкцию и простейшие свойства конечных полей. В частности, изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной, мультипликативной подгруппы поля.
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Разработка формальной системы
Министерство образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ВПМ Разработка формальной системы Пояснительная записка к курсовому проекту
Неопределенные бинарные квадратичные формы
Введение Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.
Дискретная математика
bookfoldsheets0 Федеральное агентство по образованию РФ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» (КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ) Преподаватель: профессор, Архипов Игорь Константинович МНОЖЕСТВА
Представление бинарного дерева в виде массива
Понятие линейных и нелинейных списков, иерархическое упорядочение элементов. Дерево - нелинейная структура, состоящая из узлов и ветвей и имеющая направление от корня к внешним узлам. Разработка программы представления бинарных деревьев в виде массива.
Конспект по дискретной математики
Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Теоретический анализ модели комплексного числа
Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
Фундаментальная группа. Конечные поля
Изучение конструкции и простейших свойств конечных полей, степень расширения поля разложения. Определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Способ построения клеточного комплекса путем последовательного приклеивания клеток.
Свойства бинарных отношений
Типичные примеры рефлексивных бинарных отношений. Понятие множества и его элементов. Операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Декартово произведение множеств. Отношения функциональные, эквивалентности, порядка. Отношения степени n.
Булевы функции и теория графов
Отношение Р и наличие стандартных свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Графы и матрицы замыканий отношения Р. Таблица значений, граф и матрица функции f. Исследование М на линейность (полноту).
Посольство Бурунди в Москве
Введение 1 Дипломатические отношения 2 Послы Бурунди в России Список литературы Введение Посольство Республики Бурунди в Российской Федерации — официальная дипломатическая миссия Бурунди в России, расположена в Москве на Якиманке на Калужской площади. Дипломатические отношения между СССР и Бурунди были установлены в 1962 году.
Динамические структуры данных
Создание стека как линейного списка. Использование аналогичного ссылочного типа для организации очереди. Циклически связанный список. Построение сложных структур в динамической памяти. Бинарные (двоичные) деревья. Экран результата и контрольные расчеты.
Кодирование информации
Основные понятия и определения кодирования информации. Кодовая комбинация и ее длина. Классификация кодов по различным признакам, способы их представления, назначение. Представление в виде кодовых деревьев или многочленов, матричное и геометрическое.
Логико-символьный язык программирования
федеральное агентство по образованию РФ государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский Государственный Университет Сервиса»
Вода
Запасы, свойства, кислотно-основные свойства.
Валериановые кислоты
В статье рассмотрены кислоты, содержащие бутильный остаток, связанный с группой СООН.
Понятие о классификации растений
Систематика - это наука, изучающая многообразие организмов на Земле, их классификацию и эволюционные взаимоотношения. Значение работ Карла Линнея. Основные особенности морфологической, "искусственной" и филогенетической (эволюционной) систематики.
Карл Линней
Шведский натуралист, «отец современной ботанической систематики» и создатель современной биологической номенклатуры.
Химическое оружие
ОВ нервно-паралитического действия. ОВ кожно-нарывного действия. ОВ удушающего действия. ОВ общеядовитого действия. ОВ раздражающего действия (полицейские). ОВ психогенного действия. Бинарные химические боеприпасы.