Метод наименьших квадратов настолько прочно вошел в жизнь экспериментатора, что альтернативные методы линеаризации почти не рассматриваются. Безусловно, если существует задача нахождения одной результирующей прямой, то искать замену традиционному методу наименьших квадратов не рационально. Решение более сложной задачи требует дополнительных шагов по усовершенствованию процесса расчетов. Приведем пример. Известно, что массив экспериментальных результатов может не принадлежать одной прямой. Более того, разные области массива могут принадлежать разным прямым. В этом случае применять метод наименьших квадратов в традиционном виде нельзя, так как его надо сочетать с процедурой исключения точек, не принадлежащих искомой прямой, что существенно усложняет расчеты.
Цель может быть достигнута более простым методом! Рассмотрим один из таких простых методов.
В основе метода лежит далеко не свежая идея о вычислении параметров прямой между всеми возможными парами экспериментальных точек. (Следует обратить внимание на то, что параметры вычисляются не только между соседними точками!) Выбирается, например, какая-либо точка, и вычисляются параметры прямых, которые можно провести между этой точкой и всеми остальными. Затем выбирается следующая точка и с ней проделывается та же операция. В итоге получается массив данных о параметрах прямых размером в n(n-1)/2 элементов, где n - число обрабатываемых экспериментальных точек. Если читатель думает, что автор статьи сейчас предложит просто усреднить полученные результаты, найдя их среднее арифметическое, то он глубоко ошибается! Вычисление среднего арифметического ничего нового не вносит в математическую обработку, так как предполагает, что все экспериментальные точки лежат на одной прямой. Прежде чем продолжить изложение материала, договоримся о том, что массивы найденных параметров прямых A и B следует преобразовать в один. Вновь образованный массив организуется умножением одного параметра прямой на другой, т.е. A*B. Необходимость этого шага будет ясна в дальнейшем.
Над новым массивом проведем 2 следующие операции. Во-первых, проведем сортировку массива по возрастанию значений элементов массива. Во-вторых, после сортировки вычислим разности между каждыми 2-мя соседними элементами массива. После этого следует рассмотреть функцию изменения разностей от абсолютного значения A*B. График этой функции F(A*B) будет иметь один или несколько ярко выраженных минимумов. Число этих экстремумов будет соответствовать числу прямых, которые можно провести через экспериментальные точки. Например, рис. а) свидетельствует о том, что массив данных допускает линеаризацию одной прямой. Среднее положение минимума функции F(A*B) относительно интервала рассматриваемых значений A*B свидетельствует о том, что систематических отклонений от прямой линии практически не существует. Рисунок б) говорит о том, что часть точек имеет систематическое отклонение от линейной закономерности, так как минимум функции смещен от середины отрезка значений A*B. На рисунке в) рассмотрен случай, когда экспериментальные данные линеаризуются 2-мя прямым.
|
После того, как анализ функции проведен, наступает следующий важный этап расчетов - определение параметров линеаризующих прямых. Есть 2 способа. Первый способ состоит в том, что во время проведения сортировки и вычисления разностей запоминаются значения A и B. Из этого следует, что каждому значению вычисленных разностей соответствуют значения A и B. Тогда, зная значение A*B в минимуме нашей функции (см. рис. а)), можно найти значения A и B. Однако в выборе точек минимума следует быть осторожным, так как наименьшее значение A*B может быть случайным совпадением. Для того чтобы этого избежать, надо усреднить несколько значений в окрестности минимума. Развивая тему о случайности некоторых значений функции F(A*B), надо отдавать себе отчет в том, что на фоне минимума организованного большими группами точек, неизбежны экстремумы из малых групп, которые образованы случайными совпадениями. Для того чтобы их было меньше, автор и предложил ранее анализ массива из значений A*B, так как операции только со значениями A и B приводят к существенному увеличению числа случайных экстремумов.
Второй способ похож на первый, но вместо запоминания всех параметров A и B, запоминаются только порядковые номера точек. Таким образом, после выделения окрестности функции F(A*B), производится выделение групп "благонадежных" точек. Их линеаризация позволяет найти искомые значения A и B. Второй способ более выгоден для целей создания компьютерных программ, так как оперативная память экономится эффективнее.
Подведем итоги.
Во-первых, новый метод позволяет не только вычислять параметры прямой, но и анализировать экспериментальные результаты на принадлежность нескольким прямым, что для экспериментатора тоже важно. Во-вторых, возможна обработка результатов, которые не могут быть линеаризованы из-за трансцендентного характера аппроксимирующей функции, например, Y=B*lg(1+A*X). В этом случае гораздо легче вычислять параметры по 2-м точкам, чем заниматься выводом индивидуальных формул методом наименьших квадратов, вычисление по которым нужно проводить только методами вычислительной математики.
Другие работы по теме:
Множественная регрессия и корреляция
Методика расчета параметров множественной регрессии и корреляции. Тест на выбор "длинной" или "короткой" регрессии. Тест Чоу на однородность зависимости объясняемой переменной от объясняющих. Тест Бреуша – Пагана. Тест Дарбина на наличие автокорреляции.
Эконометрика 3
Институт экономики и предпринимательства (ИНЭП) Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант 1 Выполнил: студент группы № Проверил: преподаватель ИНЭП,
Классический метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов; регрессионный анализ для оценки неизвестных величин по результатам измерений. Приближённое представление заданной функции другими; обработка количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, наблюдений.
Построение эконометрической модели
Общий вид искомой модели, нахождению структурных коэффициентов. Ранг матрицы системы, число эндогенных переменных, достаточное условие индентифицируемости системы. Применение косвенного метода наименьших квадратов, выражение переменные через отклонения.
Прогнозирование национальной экономики
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: ПРОГНЕЗИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Равноускоренное движение
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ Цель и содержание работы Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи
Методические указания по выполнению контрольных работ
Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения / Под ред проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Взфэи, 2008
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Решение дифференциальных уравнений
Задача 4 С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры линейной функции , приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Математика
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Контрольная работа по специальным главам математики.
Эконометрика
Обработка результатов наблюдений за дневной выручкой восьми продавцов на рынке.
Аппроксимация функций
Способы задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный; аппроксимирующая функция.
Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов
Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
Интерполирование и приближение функций
Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Множественная регрессия и корреляция 2
Множественная регрессия и корреляция Пусть требуется построить линейную модель зависимости некоторого выходного экономического показателя , называемого объясняемой переменной от набора входных показателей
Линейная модель множественной регрессии 2
Содержание Введение…………………………………………………………………….3 Линейная модель множественной регрессии……………………...5 Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии…………………………………………..6
Управление динамической системой
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский государственный технологический университет
Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
Общая характеристика цифрового фильтра, его описание разностным уравнением. Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика, их связь парой преобразований Фурье. Метод частотной выборки и наименьших квадратов, их сравнение и отличия.
Управление динамической системой
Нахождение аналитического вида функций Mc(w), Mg(w,m) и передаточной функции для разомкнутой системы. Линеаризация и численное решение разомкнутой системы. Оценка управляемости и устойчивости системы. Амплитудная, фазовая, мнимая частотные характеристики.
Построение экспериментального графика
Построение графика на основе табличных данных, их анализ с использованием математического метода наименьших квадратов. Зависимость электрического сопротивления медного стержня от температуры. Использование линий тренда в MS Excel для прогнозирования.