Макоха А.Н.
, Зуй Б. Ю.
В настоящее время существует необходимость проводить вычисления с очень большими целыми числами (то есть с числами, не помещающимися в разрядную сетку регистров АЛУ процессора) в таких областях как кодирование информации, криптография, физика, астрономия и т. д.
Архитектура 32-х разрядных систем позволяет обрабатывать числа в максимальном диапазоне 0..4294967295. Но это слишком узкий диапазон натуральных чисел для решения многих прикладных задач. Для расширения диапазона разработчики программного обеспечения предлагают разнообразные методы решения данной задачи. Средства для работы с большими целыми числами имеются в таких программных пакетах как Java, Си, Perl. Эффективным способом выполнения операций над сверхбольшими целыми числами является их представление в системе остаточных классов, где нет переносов из младших разрядов в старшие [3]. Однако здесь возникает своя проблема нахождения остатков от деления сверхбольшого числа на основания системы остаточных классов.
Диапазон представления натуральных чисел можно значительно расширить, реализовав несложные алгоритмы операций над данными на языке Ассемблера [1], увеличив при этом длину слова в десятки раз. Разработаны алгоритмы представления и хранения в памяти ЭВМ больших целых чисел в виде связанных списков [2]. Пусть () – список общего вида. Компьютерное представление списка состоит из n
ячеек, связанных через их поля ссылок, вместе с предполагаемыми уже данными представлениями каждого из значений xi
, являющихся в свою очередь списками.
В настоящей работе предлагаются алгоритмы выполнения арифметических операций над сверхбольшими натуральными числами, представленными в виде списков (последовательности бит или последовательности десятичных знаков), с помощью относительного распараллеливания этих операций на многопроцессорных системах. Пусть , , – сверхбольшие натуральные числа. Разобьем эти числа на слова по основанию , где - длина слова:
,
,
,
при этом коэффициенты . Так как будут рассматриваться числа без знака, то для всех рассуждений будем предполагать, что . Тогда
а) при сложении
, ;
б) при вычитании
, ;
в) при умножении
, .
Приступим к непосредственному описанию алгоритмов перечисленных операций.
Пусть имеется параллельная вычислительная система: схема процессоров или локальная сеть. Назовем элемент системы (процессор, компьютер) устройством. Имеется общее пространство ячеек памяти. Из всех устройств системы выделяется управляющее (УУ), выполняющее функции инициализации системы, анализа данных.
Инициализация системы
УУ анализирует наличие устройств системы и каждому устройству присваивает порядковый номер, выделяет ячейки памяти для каждого устройства, а также необходимое количество бит для хранения двух слов (для хранения ). После инициализации все устройства работают с отведенными для них ячейками памяти.
А
. Сложение
Система инициализирует двойных слов; -е двойное слово соответствует -ому устройству (), . В младшие байты слов УУ записывает , в старшие - , причём . Затем УУ дает команду на начало работы, после чего все устройства работают одновременно по следующему алгоритму: устройство
А1
. Считывает данные из отведенных для него ячеек памяти.
А2
. Выполняет сложение (сложение данных из младших и старших байтов слов).
А3
. Записывает в младшие байты слова, соответствующего устройству : .
А4
. Записывает в старшие байты своего же слова:
.
А5
. Оповещает УУ о завершении работы.
Далее УУ анализирует первый бит старших байтов слов, например, с помощью логической операции дизъюнкции и, если результат этой операции равен 0, формирует результат из младших байтов слов. Если результат этой операции равен 1, то возвращаемся к шагу А1
.
Таким образом, рассмотренный алгоритм, в зависимости от чисел и , может выдать результат не более чем через n
+ 1 шагов, тогда как последовательные алгоритмы выдают результат строго через n
+ 1 шагов для таких же чисел.
Б
. Вычитание
Система инициализирует двойных слов, при этом -е двойное слово соответствует -ому устройству (), . В младшие байты слов УУ записывает , в старшие - , причём для . Затем УУ дает команду на начало работы, после чего все устройства работают одновременно по следующему алгоритму: устройство
Б1
. Считывает данные из ячеек памяти.
Б2
. Выполняет вычитание .
Б3
. Записывает в младшие байты слова соответствующее устройству значение
Б4
. Записывает в старшие байты слова значение :
Б5
. Оповещает УУ о завершении работы.
Далее УУ анализирует первый бит старших байтов слов, например, логической операцией дизъюнкции и, если результат этой операции равен 0, то формирует результат из младших байтов слов. Если же результат этой операции равен 1, то возвращаемся к шагу Б1
.
Аналогично сложению количество шагов варьируется от 1 до n
+ 1.
В
. Умножение
Алгоритм умножения несколько сложнее в реализации, но напоминает собой умножение в столбик.
Система инициализирует двойных слов. При этом распределение ячеек памяти при инициализации можно представить в виде таблицы 1:
Таблица 1. - Распределение ячеек памяти при инициализации
|
… |
|
0 |
… |
|
… |
|
0 |
0 |
|
… |
|
0 |
… |
|
… |
|
0 |
0 |
ячеек |
… |
ячеек |
ячеек |
Сначала вычисляются одновременно числа, представляющие собой умножение на число , по следующему алгоритму: устройство
В1
. Считывает данные из ячеек памяти.
В2
. Выполняет умножение (, j
).
В3
. Записывает в младшие байты слов:, .
В4
. Записывает в старшие байты слов: .
В5
. Для каждой -ки происходит сложение по алгоритму А
.
После шага В5
в старших байтах слов будут содержаться (таблица 2):
Таблица 2. - Распределение ячеек памяти после операции умножения
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
0 |
ячеек |
… |
ячеек |
|
… |
|
Результат умножения формируем из сложением со сдвигом на разрядов.
Количество шагов варьируется от 1 до , в то время как последовательное вычисление произведения займет шагов.
Предлагаемые алгоритмы могут быть реализованы на однородных вычислительных средах, систолических структурах, нейронных сетях.
Литература
1.Юров В.
Assembler. – СПб.: Издательство «Питер», 2000.
2.Акритас А
.
Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М: Мир, 1994.
3.Макоха А.Н
., Ионисян А.С
.
Компьютерная эмуляция арифметических операций над целыми и рациональными числами в СОК. // Вестник СГУ. – Ставрополь: Изд-во СГУ, вып. 20, 1999.
Другие работы по теме:
1. Введение в предмет
Целью курса является изучение принципов и освоение практических навыков параллельного программирования с использование технологии mpi
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Теорема Геделя
Курт Гедель как крупнейший специалист по математической логике, краткий очерк его жизни и личностного становления, достижения в сфере профессиональной деятельности. История и основные этапы создания теоремы о неполноте, первой и второй, дискуссии вокруг н
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Число пи четверками
Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками
Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других?
Алгоритм решения Диофантовых уравнений 3
Данная статья является продолжением работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений». Нижегородская область Г. Заволжье Белотелов В.Д. 2009 год Подход к решению уравнений
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Свойства чисел Периодическая система чисел
© Автор Бутарева Людмила 29 декабря 2006 г. СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЧИСЕЛ. Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.
Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
Простые числа Мерсенна. Совершенные числа
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М -1 , где - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как
Пафнутий Львович Чебышев
Корнет казачьего полка Лев Павлович Чебышев и его супруга дали своему первому сыну, родившемуся 26 мая 1821 года в селе Окатово Калужской губернии, редкое имя Пафнутия. О детстве Пафнутия Львовича – великого русского математика мы знаем очень мало. Грамоте его обучала мама, а французкому и арифметике – двоюродная сестра.
Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Н.М. Козий, 2008, [UA] Свидетельство Украины № 25256 о регистрации авторского права ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.
Пифагор
Великий древнегреческий ученый родился на острове Самос в VI веке до н.э. В молодости побывал в Египте, где учился у жрецов. Говорят, что он был допущен в сокровенные святилища Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов. Около 530 г. до н.э. Пифагор переехал в Кротон – греческую колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз (или кротонское братство).
Яо, Эндрю
Введение 1 Биография 2 Награды (выдержка) Список литературы Введение Эндрю Яо Цичжи (англ. Andrew Chi-Chih Yao, кит. 姚期智, пиньинь Yбo Qīzhм, 24 декабря 1946 года, Шанхай, Китай) — учёный в области теории вычислительных систем, профессор университета Цинхуа в Пекине. Награждён в 1996 году премией Кнута.
Решение головоломки Ж. Арсака
Работа посвящена решению головоломки, условие которой находится в книге Ж.Арсака «Программирование игр и головоломок».
Динамические структуры данных: очереди
Очередь — это информационная структура, в которой для добавления элементов доступен только один конец, называемый хвостом, а для удаления — другой, называемый головой.
История развития вычислительной техники 2 2
Text Text 1953-1955. IBM 604, IBM 608, IBM 702 1953-1955. IBM 604, IBM 608, IBM 702 1965-1966. БЭСМ-6 60 000 транзисторов 200 000 диодов 1 млн. операций в секунду память – магнитная лента, магнитный барабан работали дл 90-х гг. Graphics
Система счисления 2
Содержание Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. 2 Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления? 2
Стибиц (Stibitz) Джордж
Стибиц (Stibitz) Джордж, американский математик, создатель одного из первых электромеханических вычислительных устройств - двоичного сумматора.
Цузе Конрад
Автор модели механической вычислительной машины, в которой использовались двоичная система счисления , форма представления чисел с плавающей запятой , трехадресная система программирования и перфокарты .
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.
Ариабхата I
Ариабхата I (476— ок. 550) — индийский астроном и математик.В сочинении “Ариабхатиам” (499), посвященном астрономии и математике, изложены математические сведения, необходимые для астрономических наблюдений.