Закон Кулона. Поле и потенциал распределенной системы зарядов в вакууме

Рефераты по математике » Закон Кулона. Поле и потенциал распределенной системы зарядов в вакууме

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Пусть O - начало координат, P - точка, в которой ищется поле, A - точка, в которой расположен заряд q. Вектор обычно обозначают $vec{r}_p$ , вектор обозначают . Тогда напряженность электрического поля и потенциал, создаваемые зарядом, записываются как:

$vec{E} = frac{q}{4pivarepsilon_0} cdotfrac{(vec{r}_p-vec{r} ')}{|vec{r}_p-vec{r} '|^3} varphi = frac{1}{4pivarepsilon_0}cdotfrac{q} {|vec{r}_p-vec{r} '|}$

(1)

Задача. Найти поле, которое в точке $vec{r}_p = 3vec{i}+5vec{j}$ создает заряд q, находящийся в точке .

Ответ: $vec{E}=frac{q}{4pivarepsilon_0}cdotfrac{-6vec{i} +8vec{j}}{1000}$

При наличии распределенного заряда, создающего поле, необходимо провести интегрирование:

$vec{E} = frac{1}{4pivarepsilon_0} intfrac{(vec{r}_p-vec{r} ') {rm d}q}{|vec{r}_p-vec{r} '|^3} varphi = frac{1}{4pivarepsilon_0} intfrac{{rm d}q}{|vec{r}_p-vec{r} '|}$

(2)

При этом пробегает всевозможные положения из начала координат в точки, где есть заряд dq. Последний записывается как

${rm d}q = left{begin{array}{ll} rho {rm d}V &- {rm объемный заряд, Kл/cм^3}\ sigma {rm d}S &- {rm поверхностный заряд, Kл/cм^2}\ lambda {rm d}l &- {rm линейный заряд, Kл/cм^1}\ {rm просто} q &-{rm точечный заряд (интегрирования нет)} end{array} right.$

Если рассматривается равномерно заряженная зарядом Q объемная (объема V), поверхностная (площади S) или линейная (длины L) область, то, соответственно,

$rho = frac{Q}{V}, sigma = frac{Q}{S}, lambda = frac{Q}{L}$

(3)

Как записать dV, dS и dl? Это зависит исключительно от геометрии:

${rm d}V = left{begin{array}{ll} {rm d}x {rm d}y {rm d}z &- {rm элемент объема куба}\ r^2{rm d}rsintheta {rm d}theta {rm d}varphi &-{rm элемент объема шара}\ {rm d}r{rm d}z{rm d}varphi &- {rm элемент объема цилиндра}\ end{array} right.$

${rm d}S = left{begin{array}{ll} {rm d}x{rm d}y &- {rm элемент площади нa плоскости}\ r{rm d}r{rm d}varphi &- {rm элемент площади круга}\ R{rm d}z{rm d}varphi &- {rm элемент площади боковой поверхности цилиндра}\ R^2sintheta {rm d}theta {rm d}varphi &- {rm элемент площади сферы}\ end{array} right.$

${rm d}l = left{begin{array}{ll} {rm d}x &- {rm элемент длины на прямой}\ R{rm d}varphi &- {rm элемент длины окружности}\ end{array} right.$

Задача. Нить, равномерно заряженная с плотностью λ0, имеет длину 2a и расположена в плоскости xy вдоль оси x симметрично относительно оси y. Найти поле на оси y как функцию y.

Ответ: $vec{E}=frac{lambda_0a}{2pivarepsilon_0ysqrt{y^2+a^2}} vec{j}$

Задача. Найти потенциал в центре пластины в форме полудиска. Внутренний и внешний радиусы R1 и R2, заряд σ = σ0sinφ, где φ- угол в плоскости xy.

Решение: Потенциал рассчитываем по стандартной формуле (2):

$varphi = frac{1}{4pivarepsilon_0} intfrac{{rm d}q}{|vec{r}_p-vec{r} '|}$

При этом

$vec{r}_p$	=
	=

Соответственно,

$vec{r}_p-vec{r} '$	=
$\|vec{r}_p-vec{r} '\|$	=	r

С учетом формы тела, создающего поле,

dq = σ(r, φ)· dS = σ0sinφ· rdr dφ

причем φ изменяется в пределах от 0 до π, а r - от R1 до R2. Теперь можно продолжить интегрирование формулы для φ:

$varphi = frac{1}{4pivarepsilon_0} intlimits_{0}^{pi}intlimits_{R_1}^{R_2}frac{sigma_0sin varphicdot r{rm d}r{rm d}varphi}{r} = frac{sigma_0} {4pivarepsilon_0}(R_2-R_1)cdot 2 = frac{sigma_0(R_2-R_1)} {2pivarepsilon_0}$

Задача. Найти поле на оси кольца радиуса R, заряженного как λ = λ0cosφ. Кольцо расположено в плоскости xy.

Ответ: $vec{E}=-frac{lambda_0R^2}{4varepsilon_0 (z^2+R^2)^{3/2}} vec{i}$

Задача. Найти потенциал на оси z цилиндрической поверхности радиуса R. Цилиндр заряжен как σ = σ0cosφ и расположен соосно с z, занимая область –L... 0.

Ответ: φ(z) = 0

Задача. Найти поле в центре шарового сектора с внутренним и внешним радиусами R1, R2, занимающего область φ = 0... 2π, θ = 0... π/4, равномерно заряженного зарядом ρ0.

Решение: Заряженный объект (шаровой сектор) является объемным, так что

dq = ρ dV = ρ0· r2drsinθdθdφ

где использовано выражение для элемента объема шара. У нас начало координат совпадает с точкой, где ищется поле, так что

$vec{r}_p = vec{0}$

Вектор запишется:

При этом

$left{begin{array}{ll} vec{r}_p-vec{r} ' &= -rsinthetacosvarphivec{i} - rsinthetasinvarphivec{j} - rcosthetavec{k}\ |vec{r}_p-vec{r} '| &= r end{array} right.$

Теперь у нас уже есть все составные компоненты для проведения интегрирования. Пределы интегрирования вытекают из условия задачи:

	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0} intfrac{(vec{r}_p-vec{r} ') {rm d}q}{\|vec{r}_p-vec{r} '\|^3} = frac{1}{4pivarepsilon_0}cdot$
		$cdotintlimits_{0}^{2pi}intlimits_{0}^{pi/4} intlimits_{R_1}^{R_2}frac{-rsinthetacosvarphivec{i}- rsinthetasinvarphivec{j}-rcosthetavec{k}}{r^3}cdot rho_0cdot r^2 mbox{d}r sinthetambox{d}thetambox{d}varphi$

Совершенно очевидно, что члены, содержащие cosφ или sin φ, при интегрировании по φ от 0 до 2π дадут ноль (это интегрирование по периоду), поэтому их можно дальше не выписывать.

	=	$frac{1}{4pivarepsilon_0} intlimits_{0}^{2pi}intlimits_{0}^{pi/4}intlimits_{R_1}^{R_2} frac{-rcosthetavec{k}}{r^3}cdot rho_0cdot r^2{rm d}rsin theta{rm d}theta{rm d}varphi=$
	=	$-frac{1}{4pivarepsilon_0}cdot (R_2-R_1)cdot 2pi cdotrho_0cdot intlimits_{0}^{pi/4}costhetasintheta{rm d} thetacdotvec{k} =$
	=	$-frac{1}{4pivarepsilon_0}cdot (R_2-R_1)cdot 2pi cdotrho_0cdot left.frac{sin^2theta}{2}right\|_0^{pi/4}cdotvec{k} = -frac{rho_0(R_2-R_1)}{8varepsilon_0}vec{k}$

Направление вектора против оси z естественно из симметрии задачи. Если заряд положителен, то поле должно быть ориентировано от заряженного сектора, что и имеет место.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe/r