Бабаев Х.
Об одном
аналоге задачи Бицадзе-Самарского
для
смешанно-составного уравнения.
РЕФЕРАТ
В данной работе для
смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая
задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского.
Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а
существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному
ей интегральному уравнению.
Библиография 4 названия
Об одном аналоге задачи
Бицадзе-Самарского
для
смешанно-составного уравнения
В первые в работе [1]
была поставлена и иcследована
нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является
обобщением задачи Дириxле. В
данной работе иcследуется один из
аналогов этой задачи для уравнения.
Пусть: Д область
ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с
координатами (1;0), (0;1), (0;0), (;), (1;1) соответственно.
Задача. Найти регулярное в области Д/OА
решение уравнения (1) довлетворяющее краевым
(2)
(3)
(4)
(5)
условиям и условиям
склеивания
(6)
Где -задание функции, причем -известные постоянные;
постоянная β удовлетворяет неравенству -внутренняя
нормаль.
Любое регулярное решение
уравнения (1) в области
представлено в виде
(7)
где z(X,У)-регулярное решение уравнения
(8)
W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Без ограничения общности
можно предположить, что W
(0)=0б W (1)=0, сперва приводим
доказательство единственности решения изучаемой задачи.
Теорема. Если то функция U (Х,У)=0 в области Д.
Доказательство. На основании (2), (7) задача
редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0
удовлетворяющего краевым условиям
φ(У)-W(У), Z()=φ(У)-W(У)
где U(1,У)= φ(У), U()=φ(У) (9)
Из (6) следует
Учитывая (3) и условие
(9) получим:
L φ(x)
общее решение уравнения
(1) в области Д={(x,y)Є D, y<0}даётся известной формулой
Даламбера
реализуя условие (10) из
(11) имеем
φ(x)
или φ(x)-
отсюда φ(x+y)-
тогда из (11) получим U(X,Y)= φ(X+Y)- (12)
Используя (4) (ψ(X)≡0) из (12) найдем
φd+φ (13)
дифференцируя выражение
(13) имеем
φ+φ=0
разделяя на (x)≠0 получим
φ(x)+ φ=0
(14)
предпологая
имеем:φ(x)-L(x) φ(βx)=0
(15)
функциональное уравнение
(15) не имеет нетривиальных решений.
Действительно применяя
метод итерации находим
φ(х)=L(х)φ(βx)
φ(βx)=L(βx)·φ()
φ(βx)=L(βx) φ(βx)
из этих равенств имеем
φ(х)=L(x)L(βx)…L(βx)φ(βx) (16)
(0≤x≤1)
из (16) следует, что при n→∞ функция φ(х)≡0
Следовательно из (12)
получим
U(X,Y)= -(1)+ (X-Y)
Отсюда
Или
Обозначим U(X,1)=ψ(X). тогда условие (5) примет вид
U(x,y)=
Следовательно из (7)
теперь нетрудно
убедиться, что функция Z(X,Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий
следует, что Z(X,Y) не достигает
максимума (минимума) и на отрезках OB и OA.
Функция Z(Х,Y) не достигает максимума
(минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z(X,Y) достигает максимума (минимума) на
АЕ, то из условия Z(X,Y)=φ(Y)-W(Y)
Следует, что этот
максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит
известным свойствам решений элиптических уравнений.
Итак Z(X,Y) ≡ 0 в
области Д, W(Y) ≡ 0 при 0≤Y≤1. U ≡ 0 и в области Д (Задача
Коши).
Таким образом U(X,Y)≡0 в
области Д.
Теперь переходим к
доказательству существования решения изучаемой задачи.
Реализуя условие (3)
имеем:
φ(x)+ψ(x)-
тогда из (11) получим
φ(Х+У)+ψ(Х+Y)-(1)+ (X-Y) (18)
используя условие (4)
после простых преобразований приходим к функциональному уравнению.
Φ(х)-L(x)φ(βx)=δx (19)
Где δ(x)=
Единственное
решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации.
Таким образом неизвестная
функция φ(х) определена единственным образом. Из (18) найдём
U(X,0)+U(X,0)=(X) (20)
Где известная функция
регулярное в области Д решение уравнения (8)
удовлетворяющее краевым
условиям
задается формулой [2]:
Отсюда находим (X,0):
22)
исключая (х,о) из формул (20), (22)
для определения V(х) получаем
интегральное уравнение Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует
из единственности решения изучаемой задачи.
Заметим что V(x) содержит неизвестные функции ψ(Х), W(У). Подставляя значение V(Х) в формулу (21) и реализуя краевые
условия
.Для определения
неизвестных функций ψ(Х), W(У)
имеем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая
однозначно разрешима.
Литература.
1.
Бицадзе А. И.,
Самарский А. А. о некоторых простейших обобщениях простейших линейных
элиптических краевых задач. –Докл. АН СССР, 1969 Т 189, N4, -c.739-740.
2.
Базаров Д. О
некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений уравнений второго
порядка. –изв. вузов. Математика, 1990, N3.
3.
Джураев Т. Д.
Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979-238с
4.
Салахидинов М.
С., Толипов А. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и
двумя линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, 1972 г. Т. 8, №1 c 134-142
Другие работы по теме:
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Кейнсианская теория
Основополагающее Кейнсианское уравнение. Монетарная трактовка Кейнсианского уравнения.
Эпюра внутренних сил
Построение эпюры внутренних сил на основании данных о реакции заделок и действующих нагрузках. Скачки напряжения из-за резкого изменения площади в местах изменения поперечного сечения. Направление реакции левой и правой заделки, уравнение равновесия.
Уравнения смешанного типа
Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Решение уровней колебания струны методом характеристик
Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения
Бабаев Х. Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения. РЕФЕРАТ В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение: l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC (
Галактионов, Алексей Петрович
Введение 1 Биография 2 Самара 3 Дальнейшая деятельность Введение Алексей Петрович Галактионов (1888 — 1922) — профессиональный революционер, председатель Самарского губисполкома совета рабочих, крестьянских и красноармейских депутатов 1919—1920 гг.
Лычев, Иван Акимович
Введение 1 Биография 1.1 В эмиграции 1.2 Карьера в СССР 2 Награды 3 Сочинения Введение Иван Акимович Лычев (30 мая (11 июня) 1881, с. Обшаровка Самарского уезда Самарской губернии — 16 ноября 1972, Москва) — советский партийный и государственный деятель.
Лабораторная работа №5
Цель работы: изучение условного оператора, оператора отбора, составного оператора и правил программирования разветвляющихся алгоритмов. Задание № 17