Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Рефераты по математике » Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

«Дискретная Математика»

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x2=y2=(xy)3> »

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А.В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

Теоретическая часть…………………………………………………...3

Понятие группы……………………………………………………3

Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

Практическая часть…………………………………………………….7

Доказательство того, что в группе n элементов………………..7

Оперделения порядка элементов…………………………………9

Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

. Составление таблицы подгрупп, порожденных

двумя элементами………………………………………………………11

Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

Структура всех подгрупп……………………………………………….14

Список используемой литературы…………………………………..……..15

Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G G G. Если (g1,g2)G1 G2, то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g1• g2, где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) g1 , g2,g3 G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) eG: e•g = g•е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) gG g-1G : g• g-1 = g-1• g = e, элемент g-1для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) g1 , g2 G g1•g2 =g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g G | gh = hg для любого h G }.

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g-1

1 и g-1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

-1 = g1

-1 • e= g1

-1 •g • g2

-1 = e • g2

-1= g2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g G и

столбца hG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е H;

2) h1 , h2 H h1 • h2 H;

3) h H h-1H.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g G, то множество gH = { gh | h

H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а1,…,аn G. Через < а1,…,аn > будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а1,…,аn. Если < а1,…,аn >= G,

то элементы {а1,…,аn} будем называть системой образующих группы G. Систему

{а1,…,аn} будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 g1H g2H, то g3 = g1h1 = g2h2 для некоторых

h1, h2 H. Но тогда g1 = g2h2h1

-1 g2H, а g2=g1h1h2

-1 g1H. Отсюда следует, что g1H

= g2Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H gH, задаваемое правилом

g gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1=gh2, то, умножая равенство слева на g-1, получим h1= h2.

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g2,..., gk-1, е} образует подгруппу в

G.Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1, у -1. Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать zn

вместо 

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е. Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово znzm договоримся

сокращать и записывать как zn+m. Например, х3х-4 = х -1, х2х-2 = е.

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·), которую будем на-

зывать умножением. Если u=z1...zn и v = t1…tm - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z1...zn t1...tm, в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е, то положим е·u = u·е = u. Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z1...zn, то u-1 = 1 1

n 1 z...z.

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у.

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x1...xn. Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v-1 =

е. Пусть задана система из k соотношений

(1)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u - слово, u F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn-1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x1 x2 ...xn . В слове

1 k

1 k u t...tможно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u t...tи 1 m

1 m v s...s, где i i t ,s { x1...xn }.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m ....... В случае

1 k 1 m ......будем считать, что u < v, если 1 1 t s или 1 1 t s , но

1 1 . Если 1 1 t s и 1 1 , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x2 ,xy, yx, y2 ,x3 ,x2 y,xyx,xy2 , yx2 , yxy, y2 x, y3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x2 y2=(xy)3 >, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy=yxyx y2 =(yxyxxyxy)xy, yxyxxyxy=e, x8 =y8 =e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x8 e , y8 e , x2 y2=(xy)3.

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

xy= x2 yxyx

yx= x3 yxy

x2 y =y x2 = y3

xyx

x y2 = y2 x

yxy= x5 yx= x3 yx y2

x4 =x y2 x= x2 y2

x3 y= x y3 =xy x2

x2 yx= yx y2= y3 x=y x3

xyxy=yxyx

x5 = x3 y2

x4 y = x2 y x2

x3 y x=xyx y2

x2 y xy=yxy x2

x6 = x4 y2

x5 y = x3 y x2 = x4 yxy

x4 yx= x2 yx y2

x7 = x5 y2

x6 y = x4 y x2

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

x2 y

xyx

x y2

yxy

x3 y

x2 yx

xyxy

x4 y

x3 y x

x2 y xy

x5 y

22. x4 yx

23. x7

24. x6 y

2.2 Определение порядков элементов.

o(e)=1

o(x)=8

o(y)=8

o(x2)=4 x2x2x2 x2=e

o(xy)=12

o(yx)=12

o(x3)=4

o(x2 y)=4

o(xyx)=8

o(yxy)=8

o(x4)=2

o(x3 y)=8

o(x2 yx)=4

o(xyxy)=6

o(yxyx)=4

o(x5)=8

o(x4 y)=8

o(x3 y x)=8

o(x2 y xy)=8

o(x6)=4

o(x5 y)=8

o(x4 yx)=4

o(x7)=8

o(x6 y)=4

В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:

Обозначение

Элемент

x2 y

xyx

yxyx

yxy

x3 y

x2 yx

xyxy

Обозначение	H7	H8	H9	C6	H10	C7	H11	C8
Элемент	x4 y	x3 y x	x2 y xy	x6	x5 y	x4 yx	x7	x6 y

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x8 e , y8 e ,

x2 y2=(xy)3, а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

e a1 C1 c2 c3 c4 c5 c6 C7 C8 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 H11 F1 L1 L2

a1 e C6 H11 C8 H5 F1 C1 L2 C3 H6 H7 H4 H3 C4 H1 H2 H9 H8 L1 C2 C5 H10 C7

C1 C6 A1 H6 H7 L1 C7 e F1 H2 C2 C3 H8 H9 H10 H11 C8 H4 H3 C4 H1 L2 H5 C5

C2 H11 h6 C6 H10 C3 H4 H1 H9 l1 A1 H5 C7 L2 C8 e C4 F1 C5 H2 C1 H3 H7 H8

C3 C8 H7 H10 C6 H4 H11 H2 H1 C1 C5 A1 C2 H10 L1 F1 e H5 C4 H8 L2 C2 H9 H6

C4 H5 L1 C3 H4 C5 A1 H10 C6 H3 H2 H1 C2 H11 F1 H8 H9 H6 H7 L2 C8 e C7 C1

C5 F1 C7 C8 H3 A1 H5 L2 H10 H4 H7 H9 H11 C2 e H2 H8 H1 H6 C1 C3 C4 C6 L1

C6 C1 E H1 H2 H10 L2 A1 C5 H7 H11 C8 H9 H8 L1 C2 c3 H3 H4 H5 H6 C7 C4 F1

C7 L2 F1 H2 H8 C6 H10 C5 C4 H9 C8 H3 H1 H6 C1 C3 F1 C2 H11 A1 H7 L1 e H5

C8 C3 H2 L2 C1 H3 C2 H7 H6 C6 F1 e H10 L1 H4 C5 A1 C4 H5 H9 C7 H11 H8 H1

H1 H6 C2 A1 H5 H2 H8 H11 H4 C4 C1 L1 C5 F1 H7 C6 H10 C7 L2 C8 e H9 C3 H3

H2 H7 C3 C5 A1 H8 H6 C8 H11 e L2 C1 C4 H5 H9 C7 C6 L1 H10 H3 F1 H1 H4 C2

H3 H4 H8 H10 L2 C2 C3 H9 H7 C7 H5 F1 C6 C1 H11 C4 C5 e A1 H1 L1 C8 H6 H2

H4 H3 H9 L2 H10 H11 C2 H8 H2 L1 F1 c5 C1 C6 C8 h5 C4 A1 e H6 C7 C3 H7 H1

H5 C4 H10 H4 H11 F1 e L1 C1 C2 H8 H6 C3 C8 C5 H9 H1 H7 H2 C7 H3 A1 L2 C6

H6 H1 H11 e C4 C5 H9 C2 H3 H5 C6 H10 F1 C5 H2 C1 L1 L2 C7 C3 A1 H8 C8 H4

H7 H2 C8 F1 e H9 H1 C3 C2 A1 C7 C6 H5 C4 H8 L2 C1 H10 L1 H4 C5 H6 H3 H11

H8 H9 H4 C4 H5 H2 H1 H3 C8 F1 C7 L2 e A1 H7 L1 H10 C1 C6 C2 C5 H2 H11 C3

H9 H8 H3 H5 F1 H1 H2 H4 C3 C5 L1 C7 A1 e H6 H10 L2 C6 C1 H11 C4 H7 C2 C8

H10 L1 C4 H9 H1 L2 C1 H5 A1 H6 H4 H11 H7 H2 C7 H3 C2 C8 C3 F1 H8 C6 C5 e

H11 C2 H1 C1 L1 C8 H3 H6 H8 H10 e C4 L2 C7 C3 A1 H5 C5 F1 H7 C6 H4 H2 H9

f1 C5 L2 H3 C2 e C4 C7 L1 H11 H9 H8 C8 C3 A1 H7 H6 H2 H1 C6 H4 H5 C1 H10

l1 H10 H5 H8 H6 C7 C6 C4 e H1 H3 C2 H2 H7 L2 H4 H11 C3 C8 C5 H9 C1 F1 A1

L2 C7 C5 H7 H9 C1 L1 F1 H5 H8 C3 H4 H6 H1 C6 C8 H3 H11 C2 e H2 H10 A1 C4

Основным методом проверки правильности составления является присутствие

каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.

Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и

того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.

В итоге получаем следующее множество: Z(G) {e, a1,c1}.

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами.

Подгруппы будем обозначать по тому же принципу, что и элементы, т.е. из 2-х

элементов через Ai, из 3-х элементов – Bi и т.д.

Заметим, что таблица будет симметрична относительно главной диагонали.

Используя таблицу умножений, получим:

A1={e,a1} Z2

C1={e,a1,c1,c6} Z4

F1={e,a1,c4,c5,f1,h5} Z6

H1={e,a1,c1,c3,c6,c8,h2,h7} Z8

H2={e,a1,c1,c6,h3,h4,h8,h9} Z8

H3={e,a1,c1,c2,c6,h1,h6,h11} Z8

L1={e,a1,c1,c4,c5,c6,c7,f1,h5,h10,l1,l2} Z12

При нахождении подгрупп удобно будет пользоваться следующими

соображениями:

1. В нашем случае, согласно теореме Лагранжа, возможны подгруппы порядков 2, 4, 6, 8, 12 и тривиальные – 1, 24. Поэтому, необязательно для получения подгруппы G искать все 24 элементов, нужно найти всего 13 элементов.

2. Если на каком-то шаге мы нашли, что в нашей подгруппе имеются элементы x и y, то подгруппа тривиальная. Ведь {x,y} – это минимальная система образующих нашей группы.

c1,c6

c4,c5

c3,c8

C2,h11

C7,h10

H1,h6

H2,h7

H3,h4

H8,h9

F1,h5

L1,l2