1.4. .
Означення 5. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .
Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b).
а) b)
Мал.6
Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).
Наприклад,
Мал.7
Означення 6. Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.
Означення 7. Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута між ними. Скалярний добуток векторів та позначають , або (,).
Отже, згідно з означенням:
=
(1)
Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.
Правило множення вектора на число.
Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k =
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:
, ,
їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою
=
Знаходження скалярного добутку векторів та
Згідно з правилом множення матриць одержимо:
=
(2)
тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.
Якщо = , тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .
Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)
(3)
Із формули (1) маємо:
(4)
Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді:
(5)
Якщо ,тоді і одержимо = 0 (6)
Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).
Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.)
Мал.8
Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);
Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;
= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)
= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)
Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :
З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.
Другие работы по теме:
Продольные ЭМВ как следствие симметрийно-физической двойственности
Кузнецов Ю.Н. 1.Известные примеры симметрийно-физической двойственности.Центральная симметрия больше, чем разновидность геометрической формы. Переход к предельной симметрии какой-либо природной сущности сопровождается изменениями её физического содержания. Например, механические силы, однонаправлено воздействующие на тело, векторами входят во второй закон Ньютона.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Трехфазные трансформаторы изготовляют главным образом стержневыми
Трехфазные трансформаторы изготовляют главным образом стержневыми. Схема построения магнитопровода трехфазного стержневого трансформатора показана на рис. 102, а. Три одинаковых однофазных трансформатора выполнены так, что их первичные и вторичные обмотки размещены на одном стержне сердечника, а другой стержень магнитопровода каждого трансформатора не имеет обмотки.
Эффект Холла
Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории. Эффект Холла на инерционных электронах в полупроводниках. Датчик ЭДС Холла.
Геометрические векторы
Основные определения геометрических векторов. Понятие коллинеарных и равных векторов. Простейшие операции над векторами, их проекция на ось. Понятие угла между векторами. Отсчет угла против часовой стрелки, положительная и отрицательная проекция.
Теория вектора
Содержание: 1. Что такое вектор? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.
Система уравнений по формулам Крамера
Задание № 1 Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера 2) с помощью обратной матрицы 3) методом Гаусса Решение найдем определитель матрицы методом Крамера
Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Теория вектора
Понятие вектора. Сложение векторов. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Свойства операций над векторами.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
О подвижном пространстве
Океанов Е.Н. В неподвижном геометрическом трехмерном пространстве X прямоугольными координатами) радиус-вектор: ( ) t = x ( ) t + y ( ) t + z ( ) t (1) определяет кривую в пространстве (годограф), по которой перемещается эта точка, являясь началом координат подвижного трехмерного пространства
Метод комплексных чисел в планиметрии
Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность. Коллинеарность векторов. Коллинеарность трёх точек. Перпендикулярность отрезков. Углы и площади. Угол между векторами. Площадь треугольника. Многоугольники. Прямая и окружность.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Внешняя политика Нидерландов
Внешняя политика Нидерландов ознаменована четырьмя главными векторами: атлантическое сотрудничество (НАТО) интеграция в Евросоюз международное развитие
Действия с векторами
Проведение урока по теме: "Действия с векторами". Повторение правил действий над векторами и применение знаний предмета информатики для решения геометрических задач по готовым чертежам. Закрепление приобретенных навыков выполнения действий над векторами.
Действия с векторами
Интегрированный урок геометрия-информатика. Тема: «Действия с векторами» Цели урока: Более прочное усвоение знаний. Развитие самостоятельности и умения планировать свою деятельность.
Метод виокреслення лінійно незалежних векторів
1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V. Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 Спецификация PDF
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году единого государственного экзамена
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 Спецификация
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году единого государственного экзамена
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения
Вектори лінійні операції над ними
Пошукова робота на тему: Вектори, лінійні операції над ними. План Вектори і скаляри. Множення вектора на число. Додавання та віднімання векторів. Проекція вектора на вісь.
Лінійний векторний простір
РЕФЕРАТ на тему: Лінійний векторний простір” Векторний простір лінійний простір ) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів