Вариант 1
Задание 1
Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:
длину стороны АВ;
внутренний угол А с точностью до градуса;
уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
точку пересечения высот;
уравнение медианы, проведенной из вершины С;
систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
Решение:
Найдем координаты вектора :
.
Длина стороны АВ равна
.
Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :
.
Тогда угол .
Прямая проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .
По формуле получим уравнение высоты:
, ,
- уравнение СК.
Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим
, ,
- уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой .
.
Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .
, .
Координаты точки Р найдем как решение системы:
, , .
Р(4;6).
Координаты основания медианы будут:
, ,
М(3.5;2).
Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.
, , ,
- уравнение медианы СМ.
Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.
Найдем уравнения ВС и АС по формуле .
, , ,
- уравнение ВС.
, , ,
- уравнение АС.
- уравнение АВ.
Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:
4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.
Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .
Аналогично для прямых ВС и АС.
; .
; .
Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:
.
Ответ003A
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) Р(4;6);
5) ;
6) .
Задание 2
Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.
Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :
.
Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:
.
Определитель Δ≠0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .
Для нахождения координат вектора в этом базисе, разложим вектор по базису :
.3
Найдем - координаты вектора в этом базисе.
.
Решим эту систему методом Гаусса.
Поменяем местами первое и третье уравнение:
Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:
Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:
Прибавим к третьему уравнению второе:
Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:
Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:
Вектор в базисе имеет координаты .
Задание 3
Найти производные функций:
а)
и
.
б)
и
.
в)
.
г)
,
.
Задание 4
Область определения .
На концах области определения: .
- значит - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты, если они есть:
У функции есть горизонтальная асимптота .
3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Найдем первую производную функции:
.
Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:
x | (-∞;-2) | -2 | (-2;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;+∞) |
y’ | - | 0 | + | 0 | - | Не существует | - |
y | Убывает | -80/27 min | Возрастает | 0 max | Убывает | Не существует | Убывает |
6. Находим вторую производную функции:
Решая уравнение , получим ,
- это критические точки. Еще одна критическая точка .
Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:
x | | | | | | 1 | (1;+∞) |
y” | - | 0 | + | 0 | - | Не существует | + |
y | Выпукла | -2.63 перегиб | Вогнута | -0.71 перегиб | Выпукла | Не существует | Вогнута |
7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).
8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.
9. Необходимости в дополнительных точках нет.
Задание 5
Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Произведем замену переменной: , тогда
Проверка:
Произведем замену переменной: , тогда
Проверка:
Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Возьмем
Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:
Проверка:
Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.
Следовательно:
Разложим многочлен .
, тогда
.
Умножим обе части этого тождества на , получим
, тогда
. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.
Таким образом:
Проверка:
Ответ: ; ; ;
.
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).
, поэтому
кв. ед.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:
. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:
. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).
, поэтому
кв. ед.
10
Другие работы по теме:
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А0 , А1, А2 осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Эпюра внутренних сил
Задача №1 а = 0,5 м q = 10 kH/м F = 2,5 cм2 Е = 2105 Мпа L -?, N -?, -? Решение. Данная задача является статически неопределимой, так как её нельзя решить при помощи только уравнений статики (уравнений равновесия). Недостающее уравнение составим из условия деформаций. Для этого отбросим одну из заделок (правую) и заменим её действие неизвестной реактивной силой
Отчет 32 с
Пектральная теория операторов, методы гомогенизации, псевдодифференциальные операторы, разностные операторы, квантовая теория рассеяния, дифракция электромагнитных волн
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: Аx +Вy= Сz/1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Решение уровней колебания струны методом характеристик
Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Правила Крамера
ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Определители
Муниципальное образовательное учреждение – гимназия № 47 Реферат по математике ученицы 8 г класса Годуновой Екатерины г.Екатеринбург, 2000г. Введение
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Графическое решение уравнений
График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Исследование графиков функций и графическое решение уравнений, их разновидности и особенности.
Моделирование структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB
Практические навыки моделирования структурных схем в среде SIMULINK пакета MATLAB. Построение графиков функций в декартовой системе координат. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Работа с блоками Sum, Algebraic Constraint, Gain, Product.
Вставка и редактирование формул
Лабораторная работа №6. Вставка и редактирование формул Что осваивается и изучается? Вызов формульного редактора Equation Editor Ввод и редактирование математических формул
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.