Задача №1
Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости и имеют вид:
Определить модуль скорость () и ускорение () этой точки в момент времени .
Решение
А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:
Следовательно,
Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:
Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением .
Задача №2
Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте . Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли . Радиус Земли
Решение
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести , которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона . Здесь — масса спутника, его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения . Здесь — гравитационная постоянная, — расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника (), — масса Земли. Центростремительное ускорение спутника связано с линейной скоростью спутника соотношением или . Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте : или
Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой , находящееся на Земле, действует сила тяжести , равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому или , откуда .
Таким образом, линейная скорость спутника равна ,
а угловая скорость
Задача №3
Шар массой движется со скоростью и сталкивается с покоящимся шаром массой и скоростью . Определить скорости шаров и после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.
Решение
Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):
Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.
Задача №4
Баллон вместимостью наполнен азотом при температуре . Когда часть газа израсходовалась давление понизилось на . Определить массу израсходованного газа. Процесс считать изотермическим (при постоянной температуре).
Решение
Пусть — молярная масса азота;
— начальная и конечная масса газа; — расход газа.
— начальное и конечное давление газа в баллоне; — снижение давления газа;
— универсальная газовая постоянная.
Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона
, тогда
Задача №5
Вычислить плотность азота , находящегося в баллоне под давлением и имеющего температуру .
Решение
Пусть — молярная масса азота;
— универсальная газовая постоянная;
— давление газа в баллоне;
— температура газа в баллоне.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для текущего состояния газа (с учётом, что ):
.
3
Другие работы по теме:
Прогнозный алгоритм управления внеоборотными активами фирмы
Text 1. Назначить работника учреждения, который бы занимался вопросами безопасности в учреждении, в том числе, по защите коммерческой тайны. На него возложить обязанность разработки и совершенствования нормативной базы, определения и организации защиты коммерческой тайны, создания методик и определения стратегии применения соответствующих режимных мер. 1.
Теоремы Ролля Коши Лагранжа Правило Лопиталя
Реферат на тему: "Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя" 1. Теорема Ролля Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Элементы алгебры и геометрии
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.
Дифференциальные уравнения
Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.
Дифференциальные уравнения
Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
Математика
Канашский филиал КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 По математике Вариант Студента 1 курса экономического факультета Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06 Работа выслана в Чувашский госуниверситет
Правило Лопиталя или правило Бернулли?
Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению.
Преобразование графиков функции
Text Text Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Graphics
Задача по Математике 5
Задача № 74 Случайная величина х задана функцией распределения. Требуется: 1) найти функцию плотности вероятности f(x); 2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;
Контрольная по Математике
Контрольная работа по дисциплине «Математика» для студентов заочного отделения 1. Найти пределы функций: =.6290; = ln e* = 1*56/3 = 18.667; 2. Найти производные
Системы линейных алгебраических уравнений
Высшая математика Контрольная работа №1 Вариант 3 Задание №1 Дана система линейных алгебраических уравнений: Требуется: Записать матрицу коэффициентов (А) и свободных членов (
Системы линейных алгебраических уравнений
Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
Высшая математика 4
Контрольная работа высшая математика ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д): а) 1. ► ► ► =-∞. Решение. Предел вычислен подстановкой
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Матрицы. Дифференциальные уравнения
Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.
Определение предела числовой функции
31. . Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0
Матрицы Дифференциальные уравнения
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка называется началом вектора , а точка – его концом (рис. 1).
Применение производной при нахождении предела
Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
Пределы последовательностей и функций
Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений.
по Математическому анализу
Задача 1. Вычислить предел последовательности. Ответ: Задача 2. Вычислить предел последовательности. Ответ: 0 Задача 3. Вычислить предел последовательности.
Первый Аахенский мир
Первый Аахенский мир в Ахене был заключён 2 мая 1668 года по окончании деволюционной войны, которую в 1667 начал против Испании король Людовик XIV. Пользуясь смертью Филиппа IV Испанского, на дочери которого — Марии Терезии — он был женат, Людовик объявил свои притязания на большую часть Испанских Нидерландов, ссылаясь на немецкое право наследования, принятое между частными лицами в Брабанте и Намюре.
Классификация чрезвычайных ситуаций 4
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧС Название П о к а з а т е л и Количество пострадавших, чел Нарушение условий жизнедеятель - ности, чел Материальный ущерб, тыс. мин. разм. оплаты труда
Анна Васильевна
Дочь великого князя московского Василия Васильевича Темного, жена великого князя рязанского Василия Ивановича.