Движение в центральном симметричном поле

Рефераты по математике » Движение в центральном симметричном поле

Реферат

На тему «Движение в центральном симметричном поле»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Немного теории.

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U= U( r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const .

(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF ]. Уравнение получается из уравнения L = [rp ]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем

Так как - есть скорость v частицы, а p = mv , то первый член есть m [vv ] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F . Таким образом, .)

Поскольку момент L = m [rv ] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L . Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного прои зв едешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r , есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором дви жущейся точки за время dt . Обозначив эту площадь через dS, можно записать величи ну момента в виде

Величина называет ся секториальной ско ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней своди тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:

m₁ v ₁ + m₂ v ₂ =0,

где v ₁ ,v ₂ - скорости части ц. Введем также относи тельную скорость частиц

v = v ₁ -v ₂ .

Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы

вы ражающие скорости каждой из частиц через их относите льную скоро сть.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим

где U( r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После простого приведения членов получим

где m обозначает вели чину

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U( r) . Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.