Реферат по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика»
Выполнил: Апаз С.В.
Крымский Экономический Институт Киевского Национального Экономического Университета
Симферополь — 2002
Независимость событий
Понятие независимости является одним из важнейших понятий теории вероятностей.
События А и В называются независимыми, если
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.1)
В случае Р(А) = 0 и Р(В) > 0 эквивалентны любому из равенств
Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В). (1.2)
Определение независимости в форме (1.1) симметрично относительно А и В; условие (1.1) несколько шире, чем условия (1.2).
Если математическая модель, описывающая некоторые опыт, подобрана достаточно хорошо, то независимым события реального опыта соответствуют событиям модели, независимые в смысле определения (1.1). Пусть, например, опыт заключается в том, что один раз бросают две симметричные монеты. В обозначениях положим Ω = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А = {ГГ, ГР} – первая монета выпала гербом вверх, В = {РГ, Г} – вторая монета выпала гербов вверх. Предполагая равновероятность элементарных событий, получим
Таким образом, Р(АВ) = Р(А)Р(В). события А и В оказались независимыми в смысле определения (1.1).
Условная вероятность. Независимость событий и испытаний.
Начнем с примеров. Пусть эксперимент состоит в троекратно подбрасывании симметричной монеты. Вероятность того, что герб выпадет ровно один раз, т.е. что произойдет одно из элементарных событий (грр), (ргр), (ррг), в классической схеме равно 3/8. обозначим это событие буков А. Предположим теперь, что об исход эксперимента дополнительно известно, что произошло событие
В = {число выпавших гербов нечетно}
Какова вероятность события А при этой дополнительной информации? Событие В состоит из 4 элементарных исходов. Событие же А составляется из 3 исходов события В. в рамках классической схемы естественно принять новую вероятность события А равной ¾.
Рассмотрим еще один более общий пример. Пусть задана классическая схема с n исходами. Событие А состоит из r исходов, событие В из m исходов, а событие АВ содержит k исходов. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, по аналогии с предыдущим примером, естественно определить следующим образом:
Полученное отношение равно , так как
Р(АВ) = k/n
Р(В) = m/n.
Мы можем перейти теперь ко общему определению.
Пусть задано вероятностное пространство áΩ, ξ, Рñ и пусть А и В – произвольны события. Если Р(В) > 0, то условная вероятность события А при условии , что произошло событие В, по определению полагается равной
События А и В называются независимыми, если
Р(АВ) = Р(А)
Некоторые свойства независимых событий.
Если Р(В) > 0, то независимость А и В эквивалентна равенству
Р(А/В) = Р(А)
Доказательство очевидно.
Если А и В независимы, от независимы Ā и В.
Действительно,
Р(ĀВ) = Р(В – АВ) = Р(В) – Р(АВ) = Р(В)(1 – Р(А)) = Р(Ā)Р(В)
Пусть событие А и В1 независимы и независимы так же события А и В2, при этом В1В2 = Ø. Тогда независимы события А и В1+В2.
Следующие равенства доказывают это свойство:
Р(А(В1+В2)) = Р(АВ1+АВ2) = Р(АВ2) = =Р(А)(Р(В1))+Р(В2)) = Р(А)Р(В1+В2)
Как мы увидим ниже, требование В1В2 = Ø здесь существенно.
Пусть событие А означает выпадение герба в первом из двух бросаний симметричной монеты, событие В – выпадение решетки во втором бросании. Вероятность каждого из этих событий равна ½. Вероятность пресечения АВ будет равна
Таким образом, события А и В независимы.
Пусть событие А состоит в том, что случайно брошенная точка попала в области, распложенную правее абсциссы а1, событие В – в том, что точка попал в область расположенную выше ординаты b.
На рисунке обе области заштрихованы. Событие АВ на рисунке заштриховано в клеточку. Очевидно, Р(АВ) = Р(А)Р(В) и, значит, события А и В независимы.
Легко проверить также, что ели событие В означает, что брошенная точка попала треугольник FCD, то событие А и В будут уже зависимыми.
События В1,В2,…Вn независимы в совокупности, если для любых 1 ≤ i1<i2<…<ir ≤ in=2,3,…, n
Попарной независимости событий недостаточно для независимости n в совокупности. Это показывает следующий пример.
Рассмотрим такой эксперимент. На плоскость бросается тетраэдр, три грань которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С – грань, содержащая синий цвет, и событие З – грань, содержащихся зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов содержится на двух гранях, то Р(К) = Р(С) = Р(З) = ½. Вероятность пересечения любой пары веденных событий равна ¼ = ½ ´ ½ , так как любая пара цветов присутсвует только для одной грани. Это означает попарную независимость всех трех событий.
Но:
Список литературы
Хеннекен П.А. «Теория вероятности»
Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».
Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».
Другие работы по теме:
Бельгийская революция
Бельгийская революция — революция в Бельгии против господства Нидерландов. После провозглашения Бельгийского государства вызвала Бельгийско-нидерландскую войну.
Геометрическая пирамида и ее проекция
Text Text Graphics Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Каким я представляю себе автора Слово о полку Игореве
Каким я представляю себе автора "Слово о полку Игореве" Автор: Разное Прочитав "Слово о полку Игореве", я представил себе все картины исторических событий, которые были упомянуты в "Слове...". Я очень хотел понять ил даже представить кто же был автором этого произведения.
Список монархов Лаоса
Введение 1 Мыанг Суа (княжество Сава) 2 Королевство Лансанг 3 Королевство Луангпхабанг 4 Королевство Вьентьян 5 Королевство Тямпасак 6 Королевство Лаос
Сигвальд Струт-Харальдссон
(др.-исл. Sigvaldi Strut-Haraldsson) — вождь йомсвикингов, преемник Палнатоки, сын ярла cконе Струт-Харальда и брат Торкелла длинного. Он отличался скорей мудростью, чем храбростью.
Египетская революция 1919 года
Египетские женщины, вышедшие вместе с мужчинами на демонстрацию протеста против высылки лидера националистов Саада Загчоула Еги́петская револю́ция 1919 го́да
История Лесото
На территории нынешнего Лесото жили люди уже как минимум сорок тысяч лет назад. Впервые народ басуто получил государственность в 1822 году, когда вождь Мошвешве I объединил его против зулусов во время событий в Юго-Восточной Африке, известных как Мфекане. В дальнейшем басуто были втянуты в борьбу с английскими и бурскими колонистами.
Континентальные доллары
Континентальный доллар (англ. Continental currency) — временная бумажная банкнота, введённая Континентальным конгрессом в июне 1775 года, в начале войны за независимость США. Объём первой эмиссии составлял 2 млн долларов, при том, что денежная масса составляла в США на начало войны 12 млн. Обеспечения первые деньги не имели, но предполагалось что в 1783 году они начнут выкупаться за счёт налогов штатов.
Монкада, Гильермо
Гильермо Монкада (исп. Guillermo Moncada, прозвище — «Guillermуn») — один из 29 кубинских генералов участвовавших в войне за независимость Кубы. Родился в негритянском районе Сантьяго-де-Куба 25 июня 1841 года [1].
Лоялисты
(англ. loyalist — «верноподданный», «монархист», от англ. loyal — «верный», «лояльный») — тори-колонисты, проживавшие в английских колониях Северной Америки, и занявшие во время Войны за независимость 1775—1783 сторону метрополии.
Мальтийские монархи
Острова Мальтийского архипелага в древности управлялись финикийскими, византийскими и римскими аристократами, прежде чем до них добрались европейские монархи. В общей сложности иностранные монархи управляли Мальтой 874 года. Впервые Мальта получила свободу от заморских правителей в 1964 году, когда была провозглашена её независимость.
Боливийская война за независимость
Введение 1 Предпосылки 2 Ход войны 3 Последствия Боливийская война за независимость Введение Боливийская война за независимость— вооружённая борьба коренного населения Боливии (индейцев) и боливийского народа против испанского колониального господства, начавшаяся в 1809 году и окончившаяся в 1825 году провозглашением независимой республики Боливия (Republica de Bolivia).
Бразильская партия
(порт. O Partido Brasileiro) - условное название борцов за независимость Бразилии периода 1821-1825 гг. Собственно слово партия употреблялось по отношению к группе лиц, стремящихся к независимости Бразилии, равно как и заинтересованных в продолжении унии с Португалией, лишь условно. Обе партии не имели ни членства, ни штабквартиры.
Война за независимость Бангладеш
Война за независимость Бангладеш (англ. Bangladesh Liberation War, бенг. মুক্তিযুদ্ধ Muktijuddho) — вооружённый конфликт между Западным Пакистаном, Восточным Пакистаном (двумя частями одной страны) и Индией, в результате которого Восточный Пакистан стал независимой страной Бангладеш.
Второй раздел Бенгалии
(1947 год) - окончательный раздел историко-культурной области Бенгалия, входившей в состав бывшей Британской Индии, между обретшими независимость от Великобритании республиками Индия с преобладающим индуистским населением и Пакистан, где преобладали мусульмане. Второй раздел Бенгалии пришёлся на 1947 год, когда Индия обрела независимость и Бенгалия была во второй раз разделена на две части по религиозному признаку.
Независимость Бутана
Бутан — одна из немногих стран, которые за всю свою историю не были покорены, оккупированы, и никогда не находились под управлением другой страны. Некоторые утверждают, что Бутан находился под контролем Тибетской Империи или Королевства Камарупа в период с 7-го по 9-ый век н. э., однако твёрдых доказательств этому не существует.
Лондонский договор 1839
Лондонский договор , также известный как Первый Лондонский договор Конвенция 1839 года — договор, подписанный в Лондоне 19 апреля 1839 года представителями Великобритании, Австрии, Франции, Пруссии, России и королевства Объединённые Нидерланды. В соответствии с этим договором европейские державы признавали и гарантировали независимость и нейтральный статус Бельгии, и подтвердили независимость Люксембурга.
Война за независимость Анголы
Война за независимость Анголы — война между Португалией и рядом военно-политических группировок португальской колонии Анголы, выступавших за независимость страны. Часть Колониальной войны Португалии.
Война за независимость Мозамбика
Война за независимость Мозамбика — война между Португалией и Фронтом освобождения Мозамбика (ФРЕЛИМО), выступавшим за независимость страны. Часть Колониальной войны Португалии.
Джей, Джон
Введение 1 Детство и образование 2 Война за независимость 3 Федералист 4 Верховный суд 5 Губернатор штата Нью-Йорк 6 Наследие Введение Джон Джей (англ. John Jay; 12 декабря 1745(17451212) — 17 мая 1829) — американский государственный деятель, один из отцов-основателей США, первый председатель Верховного суда США, дипломат, губернатор штата Нью-Йорк
Португальская Гвинея
Португальская Гвинея (порт. Guinй Portuguesa) — португальская колония в Африке, существовавшая в конце XIX — начале XX веков. Долгое время португальское присутствие на западноафриканском побережье ограничивалось укреплёнными населёнными пунктами Кашеу (основан в 1588 году) и Бисау (основан в 1687 году), являвшимися центрами работорговли; управление ими осуществлялось в рамках колонии Кабо-Верде.
Португальская партия
Португальская партия (порт. O Partido Portuguкs) — условное название унионистов и лоялистов в Бразилии времён борьбы за независимость 1821—1825 годов. Поначалу интересы партии разделял и регент Педру I, уроженец Португалии и сын португальского короля. Собственно слово партия употреблялось по отношению к группе лиц, заинтересованных в продолжении унии с Португалией, лишь условно.
Арбротская декларация
Арбротская декларация (англ. Declaration of Arbroath), 1320 — декларация суверенитета Шотландии в период борьбы за независимость с Англией. В ответ на поддержку папством английского завоевания Шотландии и отлучение от церкви короля Роберта Брюса и его сторонников, духовенство и бароны Шотландии во главе с аббатом Арбротского монастыря Бернардом де Линтоном издали адресованную папе Иоанну XXII декларцию суверенитета Шотландии.
Война за независимость Эритреи
План Введение 1 Предпосылки и ход войны Список литературы Война за независимость Эритреи Введение Война за независимость Эритреи — вооружённая борьба, проводившаяся эритрейскими вооружёнными группировками за независимость от Эфиопии во второй половине XX века.
Борьба за независимость в Баии
Борьба за независимость в Баии (порт. Independкncia da Bahia;1821-1823) стало важным эпизодом как в развитии движения за независимость в колониальной Бразилии, так и в период войны за независимость после её провозглашения.
Кларк, Джордж Роджерс
План Введение 1 Биография 1.1 Юность 1.2 Война за независимость 1.3 Жизнь после войны за независимость Введение Джордж Роджерс Кларк англ. George Rogers Clark, 19 ноября 1752(17521119), Альбемарль (Виргиния) — 13 февраля 1818, Луисвилл) — американский военачальник, герой войны за независимость США.
Восстание Шейса
План Введение 1 Предпосылки 2 Восстание Список литературы Восстание Шейса Введение Восстание Шейса (англ. Shays's Rebellion) - вооруженное восстание в центральной и западной Филадельфии (в основном в Спрингфилде) с 1786 по 1787 год. Восстание названо в честь Даниэла Шейса, ветерана Войны за независимость США и предводителя восстания.
Война за независимость Перу
План Введение 1 Предыстория 2 Обретение независимости 3 Итоги войны Введение Война за независимость Перу — (англ. Guerra de Independencia del Perъ) — часть Войны за независимость испанских колоний в Америке, проходившей на территории вице-королевства Перу и Верхнего Перу (современные Перу, Боливия, части Чили и Аргентины).
Генри, Патрик
Патрик Генри (англ. Patrick Henry; род. 29 мая 1736 года, Гановер Каунти, Виргиния — ум. 6 июня 1799 г. плантация Ред Хилл, близ Брукнела, Виргиния) — американский государственный деятель, активный борец за независимость.
Масео, Антонио
Масео, Антонио Антонио Масео (исп. Antonio Maceo Grajales, 14 июня 1845(18450614), Сантьяго-де-Куба — 7 декабря 1896, Пунта Брава) — один из руководителей борьбы кубинского народа за независимость от испанского господства.
Волков, Александр Николаевич художник
Во́лков Алекса́ндр Никола́евич (19(31).08.1886, Фергана, −17.12. 1957, Ташкент), русский, советский художник, один из основоположников современного искусства Средней Азии. Народный художник Узбекской ССР.
Азад, Абул Калам
Азад, Абул Калам (Azad, Maulana Abul Kalam) (1888–1958), индийский политический деятель, один из лидеров движения за независимость Индии.