Міністерство освіти і науки України
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський університет
Запорізька філія
Реферат
Граничні теореми теорії ймовірностей
з дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика
Запоріжжя,
2007р.
Теорема Бернуллі. Нехай імовірність появи події А в кожному із п
незалежних повторних випробувань дорівнює р, т
- число появ події А (частота події) в п
випробуваннях. Тоді
Доведення. Частість можна розглядати як невід'ємну випадкову величину. Знайдемо її математичне сподівання
Отже, необхідно оцінити імовірність відхилення випадкової величинивід її математичного сподівання. Для цього знайдемо дисперсію цієї випадкової величини
За нерівністю Чебишова одержимо
Звідси граничним переходомодержуємо (4), що й треба було довести.
Теорема Чебишова. Нехай - послідовність попарно незалежних випадкових величин, які задовольняють умовам
для усіх t= 1,2,..., п.
Тоді
Доведення. Знайдемо математичне сподівання та дисперсіюсередньої випадкових величин, тобто
Застосуємо для випадкової величини нерівність Чебишова (2)
Границя цієї імовірності при дорівнює одиниці, тобто рівність (5) доведено.
Центральна гранична теорема. Нехай задана послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин
Розглянемо випадкову величинуТоді
Прифункція розподілу
тобто сумабуде розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 0 та дисперсією
Для доведення цієї теореми треба знайти границю характеристичної функції, побудованої для нормованої випадкової величини
Наслідок. При розподіл суми однаково розподілених випадкових величин мало відрізняється від нормального розподілу.
Теорема Ляпунова. Нехай задана послідовність незалежних випадкових величин таких, що
Побудуємо суму випадкових величин ПозначимоЯкщо виконується умова рівномірної малості величин, що утворюють суму
то сумабуде розподіленою нормально з математичним сподіваннямта дисперсією
Доведення цієї теореми досить складне, але відмітимо, що у випадку, колиможна розглядати випадкові величини Величинибудуть задовольняти умову теореми Ляпунова.
Приклад 2. Скільки додатків треба взяти у теоремі Чебишова, щоб з надійністю 96% і точністю до 0.01 виконувалась наближена рівність
Розв'язок. В цьому прикладі є = 0.01. Щоб одержати надійність 96% згідно формули (6) достатньо підібрати таке п, яке задовольняє нерівність
Зауваження 1. Приклад 2 показує, що навіть у випадку не дуже великих точності та надійності, треба брати значну кількість додатків (п - досить велике число). Це означає, що оцінки, одержані з використанням нерівності (6), - завищені. Більш точні оцінки можна одержати за допомогою теореми Ляпунова.
Список використаної літератури
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: ЦУЛ, 2002. – 448с.
2. Гмурман В.Е. теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1980.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: наука, 1988.
5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.
Другие работы по теме:
Схема Бернуллі
Дослідження послідовності (серії) n випробувань. Особливості застосування формули Бернуллі. Знаходження ймовірності того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n-m разів. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Короткострокові витрати виробництва
Сукупні витрати. Постійні витрати. Витрати на одиницю продукції. Граничні витрати. Криві витрат виробництва на весь обсяг продукції. Закони зростаючої та спадної віддачі. Зв’язок між динамікою продуктивності факторів виробництва і витрат.
Теорема Гауса
Реферат на тему: “ Теорема Гауса” Цілі: Засвоєння та закріплення загальних відомостей про статичні електричні поля. Навчити розв’язувати задачі за допомогою використання теореми Гауса. Виховувати старанність, працелюбність.
Моменти випадкових похибок
Реферат на тему: Моменти випадкових похибок Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом опису розміщення випадкових похибок навколо істинного значення. Проте для визначення функцій розподілу необхідно виконати досить копітке наукове дослідження і складні обчислення.
Математик Остроградський М В
Реферат на тему: Остроградський Михайло Васильович (1801-1862) математик Народився в селi Пашенна на Полтавщині. У 1816—1821 рр. навчався в Харківському університеті. В 1822—1827 рр. вдосконалював математичну освіту у Франції: слухав математичні курси на Паризькому факультеті наук і в Коллеж де Франс, що дозволило йому називати своїми вчителями таких великих французьких учених, як О.Л.Коші, Л.Пуансо, Ж.Ф.М.Біне, Ж.Ш.Ф.Штурма, Г.Ламе.
Побудова простих великих чисел
Методи перевірки чисел на простоту: критерій Люка та його теореми, їх доведення. Теорема Поклінгтона та її леми. Метод Маурера - швидкий алгоритм генерації доведених простих чисел, близьких до випадкового та доведення Д. Коувером і Дж. Куіскуотером.
Основні теореми теорії ймовірностей
Тема 2. Основні теореми теорії імовірності На фундаменті міцному будем класти поверхи, перегородки та сходинки, що їх з’єднають на віки. План. Теорема додавання імовірностей несумісних подій..
Велика теорема Ферма
Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Основні поняття теорії ймовірностей
Сприймання і усвідомлення понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія, повна група подій, попарно несумісні події, рівно можливі події, елементарні події. Вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
Теорія ймовірностей та математична статистика
Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
Побудова простих великих чисел
Побудова великих простих чисел. Розглянемо методи перевірки чисел на простоту, при застосуванні яких можна стверджувати, що перевіряючі числа дійсно є простими.
Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
Основні напрямки теорії ймовірностей. Сутність понять "подія", "ймовірність події". Перестановки, розміщення та сполучення. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Основні теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності та Байєса.
Випадковий процес в математиці
Визначення і характеристики випадкового процесу. Марковські ймовірнісні процеси з дискретними станами. Стаціонарна нерегулярна діяльність і ергодична властивість по математичному очікуванню стаціонарного мимовільного процесу і його кореляційна функція.
Основні поняття теорії ймовірностей
Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
Випадкові події
Вивчення поняття випадкових подій. Ознайомлення із класичним, статистичним, геометричним, аксіоматичним означеннями, предметом та методами аналізу (комбінаторний), основними співвідношеннями теорії ймовірності. Розгляд залежності та сумісністю подій.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Характер прийнятих сигналів як носіїв інформації є випадковим і заздалегідь не є відомий, тому з цього погляду сигнали треба розглядати як випадкові функції часу. Крім того, передавання інформації завжди супроводжується дією різноманітних завад та шумів, тому реальні сигнали є сумішшю корисного сигналу та завади.
Моделі відкритої мережі
Дипломна робота Моделі відкритої мережі Реферат Об'єктом дослідження є відкриті мережі масового обслуговування. Предметом дослідження є стаціонарний розподіл станів мереж обслуговування.
Моделі відкритої мережі
Дослідження відкритих марковских і полумарковских мереж масового обслуговування із трьома вузлами й циклічною маршрутизацією. Рівняння глобальної рівноваги. Відшукання стаціонарних ймовірностей. Достатня умова ергодичності. Вид стаціонарного розподілу.
Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей
Сигнали як носії інформації і випадкові функції часу, їх сутність. Випадкова функція - математична модель випадкового сигналу. Статистичні характеристики, властиві випадкового процесу. Одновимірна функція розподілу ймовірностей випадкового процесу.
Принципи побудови формальних теорій
Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.
Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена
Реферат на тему: Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни.
Прямокутний хвильовід
Лекція 6 П рямокутний хвильовід. В середині металевого проводу не може бути електростатичних полів. Можуть бути лише Е, Н. . Граничні умови: Нехай ; тоді
Суть аксіоматичного методу
Реферат на тему: Суть аксіоматичного методу 1.1 Що таке математика? Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія – властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа.
Послідовності
План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності.
Боголюбов Микола Миколайович - український математик механік фізик
Реферат На тему: Боголюбов Микола Миколайович - український математик, механік, фізик Народився у 1909 р. в Нижньому Новгороді. Після завершення семирічки самостійно займався математикою і фізикою. У віці 17 років закінчив аспірантуру при Академії наук України. В 1934—1958 рр. працював у Київському університеті (з 1936 р. — професор).
Генерування випадковості чисел
Тема: . План. Рівномірний розподіл. Розподіл Пуассона (самостійно). Експоненціальний розподіл. Нормальний розподіл. Гама – розподіл та розподіл Ерланга.