Вариант 2
I. Вычислить интегралы
Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:
Найдем А и В:
Отсюда видно что А и В являются решением системы:
Решим эту систему и найдем А и В:
Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.
с помощью замены переменных
Введем и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:
Возвращаемся к x:
Теперь вычисляем определенный интеграл:
Итак,
3.методом интегрирования по частям
Итак,
II. Функции многих переменных
1. Найти частные производные 1-го порядка
2. Исследовать на экстремум функцию
Найдем частные производные
Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: ,
Это равносильно следующему:
Вторая система не имеет вещественного корня
t= 0 t=1
y=1 y=-1
x=1
M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.
Теперь определим характер этих стационарных точек.
Найдем частные производные второго порядка этой функции.
В точке M0(0;0):
Так как <0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.
В точке M1(1;1):
Так как >0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,
Причем этот экстремум-минимум.
III. Решить дифференциальные уравнения.
1. Решить уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируем правую и левую части уравнения:
После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:
2. Решить линейное уравнение 1-го порядка
Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:
При этом:
После подстановки в исходное уравнение имеем:
Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:
Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:
:
Решение запишется в виде:
3
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:
, где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение.
Найдем
Решим однородное дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение для него:
Это квадратное уравнение
d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:
k1=3-4i ; k2=3+4i
Общее решение, следовательно, имеет вид:
,
где - константы.
Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:
, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25
При этом , следовательно, частное решение ищем в виде:
Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:
Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:
A=0,07, B=0,16
Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:
IV. Ряды
1. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
Рассмотрим ряд:
Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.
Теперь сравним члены ряда с членами ряда
при n>4 , значит ряд также сходится.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.
,
Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:
, следовательно наш ряд расходится абсолютно.
Исследуем ряд на условную сходимость:
Так как условия признака Лейбница выполнены
данный ряд сходится условно.
3. Найти область сходимости функционального ряда
, перепишем его в виде:
Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.
Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.
Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:
Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :
Итак, область сходимости функционального ряда :
Другие работы по теме:
Теория МО ЛКАО
Построение квантово-механической теории валентности. Происхождение электронного облака в межъядерной области и природа устойчивости простейшей молекулярной системы. Спектрально наблюдаемые свойства молекул. Физическое происхождение феномена валентности.
Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
Академия России Кафедра Физики Лекция Переходные и импульсные характеристики электрических цепей Орел 2009 Учебные и воспитательные цели: Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
Сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей. Переходная характеристика цепи - отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях. Интегралы Дюамеля и интегралы свертки.
Нахождение объема бетонной строительной конструкции
Проведение аппроксимации данных с помощью Excel, расчет площадей (отдельно для выпуклой и вогнутой кривых периферического, серединного и корневого сечения) и целевой функции V с целью нахождения полного объема бетонной строительной конструкции.
Методические указания по выполнению контрольных работ
Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения / Под ред проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Взфэи, 2008
Гравитационное поле плоского слоя
Гравитационное поле плоского слоя В. В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним. Пусть плотность слоя = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z.
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Гравитационное поле плоского слоя
Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним. Пусть плотность слоя = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Несобственные интегралы
Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Несобственные интегралы» 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна.
Решение дифференциальных уравнений 2
Контрольная работа Вычислить предел функции. Вычислить производную функции. Исследовать функции f(х) и g(х) и построить графики. Вычислить неопределенные интегралы.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки. Интегрирование по частям.
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Решение математических уравнений и функций
Вариант 1 Задание 1 Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти: длину стороны АВ; внутренний угол А с точностью до градуса; уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
Несобственные интегралы
Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
Сессии в PHP
Сессия - это время, в течении которого посетитель находится на сайте. Часто возникает необходимость в том, что бы в течении сеанса пользователя сопровождали некоторые переменные.
Лабараторная работа №4
Цель работы: изучение правил записи констант, переменных, выражений, операторов присваивания, раздела определения констант, раздела описания переменных и общей структуры программы на языке Turbo-Pascal.
Примеры решения задач по программированию
Написание программы вычисления сопротивления электрической цепи, состоящей из двух параллельно и двух последовательно соединенных сопротивлений. Схема машинного алгоритма по условию задачи. Применение операций при написании программ на языке C/C++.
Метод валентных связей
Валентных связей метод (метод валентных схем), метод приближенного решения электронного уравнения Шрёдингера для многоэлектронных молекулярных систем.
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.