Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-32
Лукьянович А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Характеристические показатели Ляпунова
2. Теорема Ляпунова. Спектр системы
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В данной курсовой работе рассматривается линейная стационарная система.
Линейной стационарной системой называется система вида
где − постоянная матрица, .
Общее решение линейной стационарной системы имеет вид
где - постоянный вектор,
) - фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде матрицы), то есть матрица, состоящая из n линейно независимых ее решений
Цель курсовой работы - найти спектр этой системы.
Множество всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы называется ее спектром.
Таким образом, главная задача курсовой работы - найти различные характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы.
1. Характеристические показатели Ляпунова
Рассмотрим следующую линейную стационарную систему
(1).
Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ее методом исключения.
Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясь вторым, получим
Или
(2).
Решим полученное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
λλ=0
λ=i
λ=-i
Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня λ=i и λ=-i, то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид
y=ccos t +csin t.
Подставим значение y в первое уравнение системы (1), получим
z=-csin t +ccos t.
Тогда общее решение системы (1) имеет вид
.
Составим фундаментальную систему решений системы (1).
Определение1
[2,c.482]. Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решений однородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.
Положим c=1,c=0. Подставим значения cи cв общее решение системы. Получим
.
Пусть теперь c=0,c=1. Тогда получим
.
Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы
.
Покажем, что найденные решения составляют фундаментальную систему решений.
Для этого воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 1
[2, c.480]. Если n решений линейной однородной системы линейно независимы в интервале (a,b), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составим и вычислим вронскиан решений системы (1):
≠ 0.
Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль ни в одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решения системы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞) (по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).
Вычислим характеристические показатели матриц x и x. Приведем определение характеристического показателя.
Определение2
[1,c.125]. Число (или символ −∞ или + ∞), определяемое формулой
называется характеристическим показателем Ляпунова.
Лемма
[1, c.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы F (t) совпадает с характеристическим показателем ее нормы.
Согласно леммы и определения1 характеристические показатели матриц X и Xбудем вычислять по следующей формуле
(3).
Вычислим нормы матриц x и x.
Определение3
[1,c. 20]. Нормой матрицы А= [a] называется неотрицательное число, удовлетворяющее следующим условиям:
1) и обратно, если то A=0;
2) где любое комплексное число;
3) где A,B-любые матрицы, допускающие сложение;
4) где A,B-любые матрицы, допускающие умножение;
Норма имеет следующие значения:
Для вектор-столбца
эти нормы имеют соответственно, следующие значения:
(4).
При вычислении норм матриц x и xвоспользуемся формулой (4).
Тогда по формуле (3) имеем
λ= =.
λ= =.
2. Теорема Ляпунова. Спектр системы
Выясним, является ли фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этого воспользуемся следующей теоремой и определением4.
Теорема Ляпунова
(о нормальности фундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальная система линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.
Определение4
[1,c.142]. Система ненулевых векторов функций обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их комбинации
где− постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть имеем
Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов
x и x.
Y=где −постоянны и (5).
Произведем арифметические действия над векторами x и x. Тогда равенство (5) примет вид
(6).
Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов (6).
Тогда по формуле (3) имеем
Итак, характеристический показатель линейной комбинации векторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений x и x, значит, система векторов x и xобладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно, фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальной фундаментальной системой (по теореме Ляпунова).
Найдем спектр системы (1).
Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.
Определение5
[1,c.137]. Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.
Следствие
[1,c.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектр стационарной системы (1) равен
Заключение
Таким образом, в процессе исследования линейной стационарной системы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальной фундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализует весь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейной стационарной системы равен.
Список использованной литературы
1. Б.П. Демидович "Лекции по математической теории устойчивости"-М.: Наука, 1967г., 465 c.
2. Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений"-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.
Другие работы по теме:
Корреляционный и регрессионный анализ в экономических расчетах
Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
Планирование и прогнозирование в условиях рынка
Выравнивание заданного динамического ряда по линейной зависимости. Определение параметров и тесноты связи меду ними. Построение графика зависимости переменной и коэффициента корреляции для линейной зависимости. Расчет критериев автокорреляции остатков.
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Комплексний аналіз часових рядів
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Лабораторна робота № 6 Тема : «Комплексний аналіз часових рядів»
Гармоническая линеаризация
Метод гармонического баланса (гармонической линеаризации) как один из распространенных инженерных методов. Определение наличия предельных циклов, их параметров и устойчивости. Условия гармонического баланса. Системы с мягким и жестким возбуждением.
1. 1 Характеристика линейной части
Реферат Введение 1 Технологическая часть 1.1 Характеристика линейной части 1.2 Характеристика ЛПДС “Пермь” 1.3 Эксплуатация РП 1.4 Расчёт емкости резервуарного парка
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Вычисление наибольшей прибыли предприятия
Содержание Задача 1 Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?
Матричная форма формулы Крамера
С.К. Соболев Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости. Рассмотрим
Задача по Математике
Исследовать абсолютную устойчивость нелинейной системы: 1. Определить K = Kгр, при котором система находится на границе устойчивости: Параметры реле:
Старший и верхний центральный показатели линейной системы
Понятие верхнего центрального показателя системы, характеристические показатели Ляпунова. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций, способы их решения. Соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Определение верхнего центрального показателя диагональной системы и поиск верхнего центрального числа соответствующего конечного семейства, условия их совпадения. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций. Норма матрицы Коши.
Виды розничной торговой сети
Реферат на тему: «Виды розничной торговой сети» В зависимости от способа и условий обслуживания покупателей, характера устройства и оборудования торговых предприятий, а также техники торгово-оперативного процесса различают три основных вида розничной торговой сети: стационарную, передвижную и посылочную торговлю.
Метод наложения
Принцип наложения. Основным свойством линейной электрической цепи является принцип наложения (принцип суперпозиции): реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности. На этом принципе основан метод расчёта сложных цепей – метод наложения.
Синтез систем подчиненного регулирования
1. Синтез системы подчиненного управления 1.1 Формулировка требований к системе и расчет параметров объекта управления Поскольку задачей курсового проекта является сопоставление двух систем – то требование, предъявляемые к ЭП относятся как к линейной, так и к релейной системе управления. Одновременно они должны соответствовать большинству реальных объектов.
Устойчивость движения в нелинейных системах
Сущность устойчивости в малом и целом смысле. Исследование Ляпуновым устойчивости движения в окрестности особых точек. Разработка и использование второго (прямого) метода Ляпунова. Устойчивость движения в предельных циклах, определение автоколебаний.
Теория Попова
осковский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана Курсовая работа по курсу: Нелинейные системы автоматического управления” “Метод Попова”
Трансляторы с Алгола-60
Только в конце 50-х у пользователей советских ЭВМ появилась возможность вводить в свои машины символьную информацию. На начальных этапах все программирование было численным, поскольку устройства ввода могли работать только с числовыми данными.
Ляпунов, Прокопий Петрович
Введение 1 Переход на сторону Лжедмитрия I и участие в восстании Болотникова 2 Служба Шуйскому 3 Первое ополчение Введение Проко́пий Петро́вич Ляпуно́в (убит в 1611 году) — русский политический и военный деятель Смутного времени, из старинного рязанского боярского рода.
Массера, Хосе Луис
Введение 1 Биография 2 Политическая деятельность Список литературы Введение Хосе Луис Массера (исп. Josй Luis Massera, 8 июня 1915, Генуя — 9 сентября 2002, Монтевидео) — уругвайский революционер, инженер и математик, известный своими исследованиями по теории устойчивости дифференциальных уравнений, функции Ляпунова и предложенной им леммы, получившей его имя.
Построение и анализ простой эконометрической модели
Проверка наличия линейной связи между соответствующими показателями деятельности коммерческих банков Украины в модуле Multiple Regression ППП Statistica. Расчет теоретических значений зависимой переменной и ошибки модели, вид графика линейной функции.
Синтаксический анализ
(парсинг) В информатике, синтаксический анализ— это процесс сопоставления линейной последовательности лексем (слов, токенов) языка с его формальной грамматикой. Результатом обычно является дерево разбора (синтаксическое дерево). Обычно применяется совместно с лексическим анализом. Синтаксический анализатор (парсер) — это программа или часть программы, выполняющая синтаксический анализ.
Теория устойчивости систем
Министерство образования РФ Южно-Уральский государственный университет Кафедра Автоматики и управления Реферат по математическим основам теории систем