Контрольная работа
Основы высшей математики
Оглавление
Введение
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
2 Произведение матриц
3 Транспонированная матрица
4 Задача
Список использованных источников
Введение
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.
Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
играет роль единицы в матричном исчислении.
Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.
- дельта Кронекера
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В = k × A
bij = k × aij.
Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
2 Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А × Е = Е × А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А × (В × С) = (А × В) × С;
2. А × (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) × С = АС + ВС;
4. α × (АВ) = (αА) × В;
5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В)Т = АТ + ВТ.
3 Транспонированная матрица
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например,
Свойства транспонированных матриц:
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
Список использованных источников
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс, 2004. - 640 с.
4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.
Другие работы по теме:
Муми – терапия
В наш просвещенный век трудно представить себе, как далекие предки обходились без знания высшей математики, филологии, юриспруденции…И все же они не были от этого менее «социально адаптированными». Возникает вопрос: почему?
Выпускная
Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения»
Выпускная
Вопрос о генезисе метода проектов как педагогической технологии
Методические рекомендации учителей математики
А содержит порядка 50 материала, который прямо или косвенно формируется в основной школе, примерно 40 такого материала – в части В, а также параметрический и геометрический материал в части C. В связи с этим уже в основной школе необходимо начинать подготовку по таким разделам
: «Фузионизм в преподавании геометрии»
Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А. П. Киселева). Т. 1: Материалы Всероссийской научно практической конференции. Орел: Изд-во огу, 2002. – 351 с
История математики: Классическая Греция
С точки зрения XX в. родоначальниками математики явились греки классического периода (VI-IV вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений.
Математика: поиск истины за пределами арифметики
История математики — это богатая палитра человеческой изобретательности и погони за эффективным способом понимания окружающего нас мира. Математика — человеческое открытие, а не человеческое изобретение.
Основы высшей математики
Построение подмножеств и диаграмм Венна по заданному универсальному множеству и его составляющим. Сложение, вычитание и транспонирование матриц. Метод понижения порядка и приведения системы к треугольному виду. Методы Крамера, Гаусса и матричный способ.
Волшебный мир Пуанкаре
Многие профессиональные математики выделяли геометрию среди остальных разделов математики, считая её подобно механике экспериментальной наукой.
Штейнер Якоб
(Steiner Jacob) тейнер Якоб (18.3.1796-1.4.1863)-немецкий математик. Член Берлинской Академии Наук (1834г.). Родился в Утценсторфе (Швейцария). Окончил Гейдельбергский университет (1821г). Преподавал математику в Берлинском городском промышленном училище (1825-1835гг). Профессор математики Берлинского университета (с 1835г).
Математика
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Контрольная работа по специальным главам математики.
Евклид
Реферат по математике ученицы 7 «Б» класса ВЮ лицея Берестовской Дарьи Евклид Евклид – древнегреческий математик (III века до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.
Мой любимый предмет - математика сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему Я часто думаю, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение.
Люилье, Симон
Введение 1 Биография 2 Научная деятельность Список литературы Введение Симо́н Антуа́н Жан Люилье́ (фр. Simon Antoine Jean L'Huilier, иногда L’Huillier, 24 апреля 1750, Женева — 28 марта 1840, там же) — швейцарский математик. Известен своими работами по анализу и (тогда ещё не сформировавшейся) топологии.
Аньези, Мария Гаэтана
Мари́я Гаэта́на Анье́зи (итал. Maria Gaetana Agnesi; 16 мая 1718, Милан — 9 января 1799) — итальянский математик и филантроп. Она происходит из зажиточной купеческой семьи, в которой был 21 ребёнок. Мария Гаэтана была старшей из детей. Её отец был профессором математики, он с детства поддерживал математические способности дочери и позаботился о хорошем образовании Марии Гаэтаны.
Рафаил Островский
(1963) является профессором факультета компьютерных наук и профессором факультета математики в Университете Калифорнии в Лос-Анджелесе . Он - известный учёный в области алгоритмов и криптографии [1]. Проф. Островский получил степень доктора философии (PhD) в 1992 году в Массачузетском Технологическом Институте.
Скотт, Дана Стюарт
Да́на Стю́арт Скотт (англ. Dana Stewart Scott , р. 1932) — американский учёный в области математики и информатики. Исследования Скотта связанны с теорией моделей, теорией автоматов, модальной и интуиционистской логиками, конструктивной математикой и связью между логикой и теорией категорий.
Крамп, Кристиан
Кристиа́н (Кретье́н) Крамп (фр. Christian Kramp, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение n! для факториала.
Пирс Чарлз
Пирс Чарлз Сандерс (10 сентября 1839, Кембридж, шт. Массачусетс - 19 апреля 1914, близ Милфорда, шт. Пенсильвания), американский философ, логик, математик и естествоиспытатель.
Буль (Boole), Джордж
Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.
Александров Павел Сергеевич
Начав научную работу в области теории множеств и теории функций действительного переменного, Александров получил ряд замечательных результатов (теорему о мощности борелевых множеств).
Принципи побудови формальних теорій
Реферат на тему: Принципи побудови формальних теорій Математична логіка як самостійний розділ сучасної математики сформувався відносно нещодавно - на рубежі дев’ятнадцятого і двадцятого століть. Виникнення і швидкий розвиток математичної логіки були пов’язані з так званою кризою основ (засад) математики, одним з проявів якої є відомі парадокси або антиномії канторівської теорії множин.