Выполнила: Ильенко Ульяна
Игоревна, студентка 1 курса, математического факультета
Запорожский национальный
университет
Запорожье, 2006 год
Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие
вектор, равный a×(b×c). Этот вектор называют двойным векторным
произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в
механике и физике.
Двойное векторное произведение выражается через
линейную комбинацию двух или трёх своих сомножителей по формуле
a×(b×c) = b(ac) - c(ab).
Докажем это. Обозначим через x разность левой и правой
частей этого равенства
x = a×(b×c) - b(ac) + c(ab).
Нам достаточно показать, что x = 0.
Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они
оба нулевые, то в выражении для вектора x все слагаемые равны нулевому вектору
и поэтому равенство
x = 0 выполнено. Если же один из коллинеарных векторов
b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором α є R
выполнено равенство b=αc. Но тогда
x=a×(αc×c)-αc(ac)+cα(ac)=0.
Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны.
Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогонально
ненулевому вектору b. Векторы
образуют правый ортонормированный базис в V3 (это и
отражается в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения
векторов:
b=|b|i , c = c1i+c2k , a = a1i + a2j + a3k ,
и поэтому
b×c = - |b|c2j , a×(b×c)
= - |b|c2(a1k – a3i).
Кроме того,
ac = a1c1 – a3c2 , ab = a1|b|.
В результате находим, что и в случае неколлинеарных
векторов b и c выполнено равенство
x= -|b|c2(a1k – a3i) – (a1c1 – a3c2)|b|i +
a1|b|(c1i + c2k) = 0.
Произведение (a×b)×c ортогонально вектору
a×b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в
плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то
есть существуют такие два числа x и y, что
(a×b)×c=xa+yb.
Чтобы найти эти числа, мы воспользуемся леммой,
согласно которой существуют положительно ориентированный ортонормированный
базис е1, е2, е3 ,связанный с векторами a, b и с формулами
a=a1e1
b=b1e1+b2e2,
c=c1e1+c2e2+c3e3.
В этом базисе вектор a×b имеет координаты (0,0,
a1b2) , и потому вектор (a×b)×c – координаты
Так как вектор xa+yb имеет координаты (xa1+yb1, yb2,
0), то, следовательно, формула (a×b)×c=xa+yb будет иметь место при
x = -b1c1 – b2c2 , y = a1c1.
Поскольку, с другой стороны, а1с1 = ас и b1c1+b2c2 =
bc, этим доказано следующее предложение:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любых векторов a, b, c имеет место
равенство (a×b)×c=(ac)b-(bc)a.
Из этой формулы непосредственно вытекает следующее
тождество Якоби:
(a×b)×c+(c×a)×b+(b×c)×a=0.
Действительно, в силу коммутативности скалярного
умножения
(ac)b-(bc)a+(cb)a-(ab)c+(ba)c-(ca)b=0.
С помощью формулы (a×b)×c=(ac)b-(bc)a
легко вычисляется также скалярное произведение (a×b)(x×y) двух
векторных произведений. Действительно пользуясь антикоммутативностью смешанного
произведения, мы немедленно получим, что
(a×b)(x×y)=((xa)y-(ya)x)b=(xa)(yb)-(ya)(xb),
то есть
Определитель в правой части этой формулы называется
взаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y.
При a=x и b=y формула даёт формулу
которую можно переписать также в следующем изящном
виде:
|a×b|2+|ab|2 = a2 b2.
Определитель в правой части предыдущей формулы
называется определителем Грамма пары векторов a и b.
Поскольку |a×b| равно площади S
параллелограмма, построенного на векторах a, b, формула
равносильна формуле
в которой векторные произведения явно не участвуют.
Таким образом, мы видим, что определитель Грама пары векторов равен квадрату
площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Вычислив скалярные произведения через координаты мы
немедленно получим следующее тождество Лагранжа :
При а3=0 , b3 = 0 («случай плоскости»)
тождество Лагранжа равносильно тождеству
(a21+a22)(b21+b22) = (a1b1 + a2b2)2 + (a1b2
– a2b1)2,
Известному из теории комплексных чисел (тождество
выражает тот факт, что произведение модулей комплексных чисел a1+ia2 и b1+ib2
равно модулю их произведения).
Аналогом вышеприведённых формулы и тождества
существует и для трёх векторов a, b, c. В нём участвует определитель
называемый определителем Грамма тройки векторов a, b,
c. В координатах относительно ортонормированного базиса e1, e2, e3 , в котором
векторы a, b, c выражаются по формулам
a=a1e1
b=b1e1+b2e2,
c=c1e1+c2e2+c3e3 , этот определитель имеет вид
Автоматическое вычисление показывает, что он равен
a21b22c23. С другой стороны, как мы уже знаем, a1b2c3= abc. Таким образом
, то есть
где V – объём параллелепипеда, построенного на
векторах a, b, c.
Аналог формулы имеет вид
где определитель справа называется взаимным
определителем Грама троек a, b, c и x, y, z.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта referat/
Другие работы по теме:
НЕ и НИ
По сравнению с отрицательной частицей не частица ни употребляется гораздо реже, но именно с различением этих частиц связано немало трудностей в русском письме.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Электромагнитные поля и волны
Задача №1 Дано: вектор напряжённости электрического поля в воздухе изменяется по закону – где Е0=5мВ/м; 10 м-1 ; 40 м-1; f =*106 рад/с задано согласно варианта.
Операторы проектирования
Основные понятия и предложения. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Задача о дополняемости. Доказательство замкнутости ядра. Формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число.
Интеграл по поверхности первого рода
Содержание 1) Интеграл по поверхности первого рода 2) Специальные векторные поля 3) Теорема Стокса 4) Потенциальное поле Литература векторное потенциальное поле интеграл
Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Вычисление интеграла по поверхности
Содержание 1)Поверхностный интеграл второго рода 2)Вычисление интеграла по поверхности 3)Теорема Остроградского-Гаусса 4)Дивергенция Литература
Полуточка модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.
Формулы по математике (11 кл.)
АЛГЕБРА Формулы Формулы сложения Формулы двойного аргумента Формулы половинного аргумента Ф-лы преобразования суммы в произведение Ф-лы преобразования произведения в сумму
Математика
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а АІ+а А+а А Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х)
Векторы
Упорядоченную совокупность ( x1, x2, ... , xn ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором.
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
Некоторые примеры некоммутативных алгебр
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Вычисление интеграла по поверхности
Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.
Рецензия по произведению А.И. Солженицын Гроза в горах
«Гроза в горах» - это произведение, которое я выбрал для анализа, считая что оно идеально передает взаимоотношения между человеком и природой. Произведение написано в период 1958 - 1966, когда Солженицын был в расцвете сил. «Гроза в горах» - имеет художественное направление. В нем раскрывается проблема взаимоотношения человека и природы.
Моя любимая песня
Сочинение-рассуждение в художественном стиле Я очень люблю как современную, так и классическую музыку, люблю петь песни. Трудно вообразить свою жизнь без них. Я долго думала, какую же из песен назвать любимейшей? И пришла к заключению, что это «Колыбельная» Моцарта. Так, именно это произведение я люблю превыше всего.
Мое любимое произведение сочинение - миниатюра
Автор: Тургенев И.С. Моё любимое произведение - повесть И.С.Тургенева "Ася". Написанная вдали от России, повесть рассказывает о событиях, которые произошли в маленьком немецком городке, но она вобрала в себя все глубокие впечатления автора о Родине.
Мое любимое произведение А.С.Пушкина повесть Капитанская дочка
Мое любимое произведение А.С.Пушкина (повесть "Капитанская дочка") Автор: Пушкин А.С. Я знакома уже со многими произведениями А.С.Пушкина. Родоначальник русской литературы, он ныне самый популярный, любимый и читаемый поэт нашей страны. Каждый человек в России, да и во всем мире знает его имя.
Анализ стихотворения А.С. Пушкина На холмах Грузии лежит ночная мгла...
Автор: Пушкин А.С. «На холмах Грузии лежит ночная мгла…» было написано А.С. Пушкиным в 1829 году во время поездки поэта на театр военных действий в Закавказье. Тогда Пушкин был безнадежно влюблен в Наталью Гончарову. Он не надеялся на брак с ней, но никто не мог запретить ему любить Наталью, восхищаться ею, посвящать ей стихи. «На холмах Грузии лежит ночная мгла…» – это лирическое произведение, написанное в жанре элегии.
Дон Кихот - мудрый безумец
Автор: Зарубежная литература Дон Кихот - “мудрый безумец” Это произведение было написано в Испании М. Сервантесом. Во времена, когда создавалось произведение люди зачитывались рыцарскими романами, и Сервантес решил показать нелепость этих романов. После того как издалось его произведение “Дон Кихот” рыцарские романы потеряли свою популярность.
Театр как синтетический вид искусства
Театр как синтетический вид искусства .Театр заключает в себе многообразие многих форм художественного творчества, опираясь на отдельные виды искусства. Это не метафора, когда говорят о музыкальности живописи, о музыкальности архитектуры, пластичность литературных героев. Какое же различие между реально звучащим звуком музыкального инструмента и звуком, запечатленным в живописных полотнах? Для этого нам необходимо различать художественное произведение как
Международные отношения Андорры
Двойное подчинение Андорры епископу Урхельскому в Испании и графу Фуа, а в дальнейшем — королям и президентам Франции позволяло этой стране постоянно лавировать и сохранять независимость (так, в период Великой Французской революции Париж отказался от феодальных прав на Андорру. Из-за нежелания впасть в подчинение Испании андоррцы просили Наполеона снова принять страну под свой суверенитет).
Морское сражение под Керчью 1774
Морское сражение под Керчью произошло 9 июня и 20 июня 1774 г., во время Русско—турецкой войны 1768—1774 гг. Двойное сражение между русским и турецким флотами состоялось южнее Керчи.
Свежий взгляд на преступление Раскольникова
Раскольников совершил страшное преступление, и в качестве своего оправдания вывел теорию о глобальном делении человечества на так называемых "великих мира сего" и "дрожащих тварей". Тем самым совершил двойное падение.
Последовательные таблицы
Будем рассматривать неотсортированные таблицы. K - количество элементов в таблице N - длина вектора представления элементов таблицы Векторное представление: