Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2 – 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).
Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5
2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f (x)>0
f (x) > 0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов положительных чисел
loga a=1 |
m loga b =loga bm |
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.
При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Если a > 1, то Loga f(x) < loga g(x) 0 < f(x) < g(x) |
log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0<x<2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
cosf(x)=0 f(x)=п +пn, n c Z 2 |
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn, n с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п +пn<2п, п <пn<2п п
222, п < пn < 3п 1 < n < 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x) |
(xm) = mxm-1 |
C=0 |
f(x)=(3x2-18x+7) =3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
6x-18=0, x=3 c [-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f(x)=3x2-18x+7,
f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,
f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
Ответ: min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx
Решение.
Найдем область определения D(f) функции f(x):
D(f)=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:
Используя свойства неопределенного интеграла
|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx |
|af(x) dx=a|f(x)dx |
и таблицу неопределённых интегралов
xm+1 | xmdx=m+1 + C, где m= -1 |
|sinx dx= -cosx + C |
получим:
F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.
x1+1 x2
Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.
Другие работы по теме:
Математический анализ
Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
Контрольная работа по Математике 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Экстремумы функций 2
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений.
Исследование элементарных функций
Красноярский Государственный Педагогический Университет им. В.П. Астафьева. Реферат На тему: «Исследование элементарных функций». Выполнила: Квашенко Д.В.
Система Лотка-Вольтерра
Вариант № 7 Задание: Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.
функция
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Область определения функции
Применение метода интервалов для решения неравенств. Формула перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному. Формула решения тригонометрического уравнения. Нахождение множества всех первообразных функции f(x) на области определения.
Станица
Стани́ца — административная казачья сельская единица, состоит из одного или нескольких казачьих поселений (хутора, посёлки). Округ каждой станицы в Российской империи составлял её станичный юрт; лица войскового сословия, живущие в юрте — станичное общество. На станичном сборе выбиралось станичное правление: станичный атаман, его помощник и казначей.
Прекмурье
Пре́кмурье (словен. Prekmurje; венг. Muravidйk) — историческая область на востоке Словении у границы с Венгрией, Австрией и Хорватией. От остальной территории Словении регион отделяет река Мура. В переводе со словенского языка Прекмурье означает область за Мурой.
Киевский областной комитет КП Украины
- орган управления Киевской областной партийной организацией КП Украины (1932-1991 годы). Киевская область УССР образована 27 февраля 1932 года в числе пяти первых областей республики. Центр - г. Киев.
Древние города Казахстана 2
Введение 1 Алматинская область 2 Атырауская область 3 Кызылординская область 4 Южно-Казахстанская область 5 Жамбылская область 6 Мангистауская область
Винницкий областной комитет КП Украины
— орган управления Винницкой областной партийной организацией КП Украины (1932—1991 годы). Винницкая область образована 27 февраля 1932 года из Винницкого округа УССР, созданного в 1925 г. на части территорий бывших Подольской и Киевской губерний. В 1937 г. из области выделена Каменец-Подольская область.
Карин наанг Великой Армении
Ка́рин (арм. Կարին, также «Высокая Армения» ( Бардзр Айк , арм. Բարձր Հայք), у греко-римских авторов «Каренитида») — область Великой Армении, район города Эрзерума; также армянское название города Эрзерума.
Измаильский областной комитет КП Украины
Измаильский (в 1940 Аккерманский) областной комитет КП Украины — орган управления Измаильской (Аккерманский) областной партийной организацией КП Украины (1940—1954 годы).
Перечень исторических городов России
Введение 1 Список 2010 года 2 Список 2002 года 2.1 Республика Адыгея 2.2 Республика Алтай 2.3 Республика Башкортостан 2.4 Республика Бурятия 2.5 Республика Дагестан
Гран
План Введение 1 Численное значение 2 Область применения 3 В крылатых выражениях Список литературы Введение Гран (от лат. granum — зерно, крупинка) — устаревшая единица массы, применявшаяся в русской аптекарской практике до введения метрических мер. Приравнивался весу среднего ячменного зерна.
Вторая Армения
Не следует путать с Второй армянской республикой (Армянской ССР). Вторая Армения — область в исторической Армении. В разные времена под Второй Арменией понимались различные территории:
Судетская область
Судетская область (нем. Sudetenland, чеш. Sudety, польск. Kraj Sudetуw) — исторический регион, промышленно развитая, богатая полезными ископаемыми область на севере и северо-западе Чехии, получившая своё название по расположенным на её территории горам Судеты. До 1945 г. — место компактного проживания судетских немцев.
Венгерская автономная область
Жёлтый цвет — территории, входившие в область всё время её существования; красный цвет — отделённые в 1960, зелёный — добавленные в 1960 Венгерская автономная область
Западная область 1917 1918
Западная область (1917—1918) Западная область — административно-территориальная единица в Российской республике и в Советской России, образованная после Февральской революции, в марте 1917 года, из губерний, входивших ранее в состав Северо-Западного края Российской империи. Административный центр — Минск.
Сегизбаев Султан
(1899(1899), аул Жагалбайлы, Ташкентский уезд (ныне Южно-Казахстанская область), Сырдарьинская область (Российская империя) — 25 февраля 1939), Москва) — советский партийный и государственный деятель. Сын крестьянина. Казах.