Контрольная работа на тему:
«Матрицы, действия с ними»
Историческая справка
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
Раскрытие темы
Понятие о матрице
Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:
aij, I – номер строки, j – номер столбца.
Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главной диагональю, другую диагональ называют побочной.
пример 1.
Элементы главной диагонали: 1,6,5. Побочной диагонали: 3,6,3. (пример 1)
пример 2.
Если количество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называется прямоугольной (пример 2).
Если количество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называется квадратной (пример 1).
Количество строк или столбцов в квадратной матрице называются ее порядком.
Если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной (пример 3).
пример3
Если все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной (пример 4).
пример 4
Если в прямоугольной матрице m*n m=1, то получается матрица-строка (пример 5).
xT = (2 3 5). пример 5.
Если n=1, то получается матрица-столбец (пример 6).
пример 6.
Матрицы-строки матрицы-столбцы называются векторами.
Свойства матриц:
A + (B + C) = (A + B) + C
A + B = B + A
A(BC) = (AB) C
A (B + C) = AB + AC
(B + C) A = BA + CA
(AT) T = A
(A * B) T = BT * AT
Действия с матрицами
Сложение матриц
Матрицы одинакового размера можно складывать.
Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Символически будем записывать так: А+В=С.
Пример.
Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С).
Нулевая матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: А+0=А.
Вычитание матриц.
Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая, что
С+В=А
Из этого определения следует, что элементы матрицы С равны разности соответствующих элементов матриц А и В.
Обозначается разность матриц А и В так: С=А – В.
Пример.
3. Умножение матриц
Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго порядка.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С=АВ.
Правила умножения прямоугольных матриц:
Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк в матрице В.
В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк было в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов было во второй матрице.
4. Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число. Например, умножим матрицу на число 2. Получим , т.е. при умножении матрицы на число множитель «вносится» под знак матрицы.
Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например,
Свойства транспонированных матриц
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
Список литературы
Баврин, Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов ВУЗов – М.: 2002.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Мир, 1969
Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. – М.: Мир, 1999.
Другие работы по теме:
Построение эконометрической модели
Общий вид искомой модели, нахождению структурных коэффициентов. Ранг матрицы системы, число эндогенных переменных, достаточное условие индентифицируемости системы. Применение косвенного метода наименьших квадратов, выражение переменные через отклонения.
Электронные цепи СВЧ (конспект) Add1
Параметры матрицы рассеяния могут быть рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле: – единичная матрица. Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния (
Замена и ремонт матрицы ноутбука
К несчастью, именно экранная матрица является наиболее уязвимой частью ноутбука. Обратите внимание, что неисправность матрицы совсем необязательно связана с отрицательным воздействием извне.
Метод случайного баланса
Составление для каждой группы матрицы ПФЭ. Порядок проведения опытов в группе. Нахождение медианы точек лежащих слева и справа по диаграмме рассеяния. Определение по медианам величины вклада каждого фактора. Построение выборочной ортогональной матрицы.
Математика матрица
Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m Ч n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Линейная алгебра
Обратная матрица. Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA0.
Вычисление обратной матрицы
Рассмотрим квадратную матрицу Квадратная матрица называется невырожденной , или неособенной , если её определитель отличен от нуля и вырожденной , или
Определитель матрицы 2
Оглавление Задача 2 3 Задача 3 5 Задача 4 7 Задача 1 Вычислить определитель 4-го порядка. Решение: Определитель 4-го порядка находится по формуле: aij – элемент матрицы;
Построение матрицы достижимости
Понятие матрицы достижимости и связности. Операция удаления вершины из графа. Алгоритм выделения компонент сильной связности. Разработка и листинг программы на языке Turbo Pascal, осуществляющей вычисление матрицы достижимости по заданному алгоритму.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Решение матриц
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Обратная матрица
Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей.Фундаментальная система решений.
Алгебра матриц
Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Матрицы
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
Основы высшей матиматики
Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
Определитель матрицы
Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
Системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
Использование программирования в математике
Содержание Задание 1. Вычисление значения арифметического выражения Задание 2. Использование условного оператора Задание 3. Использование циклических структур Задание 4. Работа с двумерными массивами Задание 5. Использование процедур Задание 6. Текстовый файл
Основы высшей математики
Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Сфрагистика
Сфрагистика (от греч. σφραγις — печать), или сигиллография (от лат. sigillum — печать) — вспомогательная историческая дисциплина, изучающая печати (матрицы) и их оттиски на различных материалах.
Программа, которая упорядочивает элементы чётных строк матрицы по возрастанию, а нечётных – по убыванию
2.24. Составить программу, которая упорядочивает элементы чётных строк матрицы по возрастанию, а нечётных – по убыванию. 17. Задан массив {Ai}: 2; 0,4; 3,14; -1,57; 11; 7,34; -2,6; 0; 5; -1. Вычислить массив {Yi}, каждый элемент которого вычисляется по формуле cos(A), и подсчитать количество элементов L из массива {Yi}, попадающих в интервал [0;1].
Лабораторная работа №12
Цель работы: Изучение правил описания и вызова подпрограмм: процедур и функций. Получение навыков и овладение приемами работы над подпрограммами. Задание№ 17
Turbo Paskal Операции над матрицами
Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»
Программа, реализующая тип данных "вещественная матрица"
Этапы реализации класса "вещественная матрица", позволяющего осуществлять основные операции с вещественными прямоугольными и транспонированными матрицами. Листинг программы, которая реализует тип данных "вещественная матрица" и принципы работы с ними.
Действия над матрицами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Инструментальные средства разработки программных средств»
Модульное программирование 5
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Лабораторная работа №3 по дисциплине «Информатика и программирование» Москва, 2010 « Модульное программирование».