Анатолий Карташкин
В
основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно
плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой
отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными
амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами ω). Пример одной из
таких функций S(t), состоящей из гармоник Сi(t), приведен на рис.1.
Рис.
1. Представление прямоугольного импульса суммой гармонических составляющих
Понятия
«изобразить в частотной области некую функцию от времени» и «нарисовать спектр
этой функции» – равнозначны. Если скользнуть по рис.1 взглядом по горизонтали
слева направо, то свершится переход от какой-либо функции времени к ее спектру
– благодаря «магическому стеклу» ПФ. А нижняя часть рисунка есть иллюстрация
одного из основных принципов ПФ – спектр суммарной функции времени равен сумме
спектров ее гармонических составляющих.
Неоспоримым
достоинством ПФ является его гибкость – преобразование может использоваться как
для непрерывных функций времени, так и для дискретных. В последнем случае оно
называется дискретным ПФ – ДПФ.
Для
получения дискретной функции времени надо подвергнуть процессу дискретизации
непрерывную функцию времени. Это изображено на рис.2. Вырезаем отдельные
значения из непрерывной функции, выстраивая дискретную функцию времени. Период
одного цикла его работы Tд называется «периодом дискретизации», или
«интервалом дискретности».
Рис.
2. Дискретное представление непрерывной функции
ПФ
часто применяется при решении задач, возникающих в теории автоматического
регулирования и управления, в теории фильтрации и т.д. Разберем один из
примеров. Имеется некий линейный фильтр – изготовленный то ли в виде набора
спаянных между собой резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, то ли в
виде модульной конструкции интегральных микросхем. Известен также входной
сигнал (на рис.3 в качестве входного сигнала изображена дельта-функция, то есть
импульс исчезающе короткой длительности и бесконечно большой амплитуды).
Необходимо определить, какой сигнал появится на выходе нашего фильтра.
Рис.
3. Исследование линейного фильтра
Ход
решения этой задачи зависит от того, какую позицию мы предпочтем. Выберем
временной путь решения (верхняя половина рис.4) – придется входной сигнал
записать как функцию времени SBX(t) и использовать импульсную
характеристику фильтра h(t), то есть математическую запись его работы во
времени. Отправимся по частотному пути (нижняя половина рис.4) – нужно будет
оперировать уже не с самим входным сигналом, а с его спектром gbx(ω).
Δа и алгоритм работы нашего фильтра потребуется представить в частотной
области – в виде частотной характеристики K(ω). Δля этого воспользуемся
помощью опять-таки «магического стекла» ПФ.
Рис.
4. Быстрое преобразование Фурье
Итак,
два пути – какой из них избрать? По-видимому, тот, который проще. Во всяком
случае, в большинстве практических задач предпочтение отдается частотному
направлению.
Если
выполнять ДПФ входной последовательности, так сказать, впрямую – строго по
исходной формуле, то потребуется много времени (особенно если количество
входных отсчетов велико). Конструктивнее использовать принцип «разделяй и
властвуй», лежащий в основе алгоритма БПФ. Согласно ему входная
последовательность делится на группы (например, четные и нечетные отсчеты), и
для каждой из них выполняется ДПФ, а затем полученные результаты объединяются.
В итоге получается ДПФ входной последовательности – и существенная экономия
времени. Поэтому описанный алгоритм так и назвали – быстрое преобразование
Фурье.
Список литературы
Лаврус
В.С. Практика измерений в телевизионной технике. – К.: НиТ, 1996.
Карташкин
А. Уйти, чтобы вернуться.
Другие работы по теме:
Система хищник-жертва: экологические и математические аспекты
ис.1: Фазовый портрет модели Рис.2: Фурье –образ «взаимодействия» между хищником и Вольтерры. (1) жертвой в системе (2). Расстояние между линиями равно элементорной частоте. Симметрия спектра относительно вертикальной оси говорит о вещественности исходной функции.
Спектральные характеристики
Демидов Р.А., ФТФ, 2105 Введение В первой части работы я поставил себе цель описать линейные операторы в целом, а также подробно рассказать о важной характеристике спектра операторов – спектральном радиусе.
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Цифровая фильтрация
Исследование обработки детерминированных сигналов в линейных, аналоговых и цифровых цепях
Лабораторная работа
В предыдущих лабораторных работах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N
Интегральные преобразования
Операционное исчисление и некоторые его приложения Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Дискретное преобразование Фурье 2
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет) Гуманитарный факультет
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Преобразование Фурье
Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
Анализ Фурье
Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы. Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке.
Анализ обобщенных функций
Обобщенная функция, заданная на прямой, - всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Комплекснозначная функция действительного переменного, называемая оригиналом. Характеристика функции Грина. Линейное неоднородное уравнение.
Частотно-временной анализ сигналов
Плоскость частота-время для анализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различных базисов. Понятие базисных функций. Прямое и обратное преобразование Фурье. Сущность дискретного вейвлет-преобразования и примеры функции вейвлет.
Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах
Решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов с помощью метода Винера-Хопфа. Решение задач в случае бесконечного и полубесконечного промежутка. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению Лапласа.
Ряды и интеграл Фурье
Определение и свойства рядов и интеграла Фурье. Методы разложения периодических функций в ряд Фурье. Примеры решения задач.
Расчёт полупроводникового выпрямител
Задача № 13 «РАСЧЕТ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ» Для питания электронного термометра от однофазной сети частотой f= 50 Гц используется однополупериодный выпрямитель, преобразующий переменное напряжение (АС) - в постоянное (DС). Он состоит (рис. 13, а) из понижающего трансформатора Т; полупроводникового диода VD; Г -образного сглаживающего RС-фильтра.
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Последняя из серии «М»
В 1984 году была запущена в производство многопроцессорная машина М-13. М-13 представляла собой многопроцессорную машину, в которой каждый процессор был ориентирован на выполнение определенных функций.
Бэлэчану, Эманоил
Эманоил (Манолаке) Бэлэча́ну (рум. Emanoil Bălăceanu, ? — 1 мая 1842) — румынский землевладелец и мыслитель, социалист-утопист (фурьерист).
Дискретные сигналы
Дискретизация непрерывных сигналов. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.
Дискретное преобразование Фурье
Разработка функции вычисления дискретного преобразования Фурье от входного вектора. Исследование свойств симметрии ДПФ при мнимых, четных и нечетных входных сигналах. Применение обратного преобразования Фурье для генерации периодической функции косинуса.
Системы базисных функций
Характеристика сигнала и его представление в виде математического ряда. Условия ортогональности двух базисных функций. Ряд Фурье, его интегральное преобразование и практическое использование в цифровой технике для обработки дискретной информации.
Принципы построения систем автоматического управления
Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, их математические модели. Дифференциальные уравнения систем автоматического управления, их решения.
Фурье (Fourier), Жан Батист Жозеф
Он стал представлять математические функции тригонометрическими рядами. Рядами, состоящими из гармонических составляющих. Рядами Фурье – так назовут их потом. А сперва станут упрекать за недостаточную строгость выводов.