План.
1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через 
дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
(1)
где 
представляют собой непрерывные функции в промежутке 
. Если 
и 
- дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
(2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
(3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через 
, т.е. 
(4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на 
и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же 
, то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда 
.
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию 
.
Дифференцируя соотношение (5) по 
, получаем так называемую формулу Лагранжа:
(8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
(9)
где
(10)
Отметим, что:
и следовательно, матрица 
-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование 
в вектор 
:
(12),
где
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам
. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку 
, мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:
или
(13),
где 
(14)
Билинейная форма 
в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
и 
и получим:
(15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
(16)
(17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
(18)
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты 
и 
принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия 
. При этом из соотношения (11) следует, что 
. Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства 
. При этом из соотношения (11) вытекает, что 
. Таким образом, задача, сопряженная задаче 
(19)
имеет вид:
(20)
где 
и 
связаны с компонентами 
вектора 
соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда 
и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией 
и 
, т.е. пропорциональна .
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что 
. Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Например, положим 
и 
.
При этом матрица А примет вид:
(21).
Из формулы (19) следует, что 
.
Тогда
(22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
(22)
(23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент 
и 
являлась линейной комбинацией 
и 
. Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид:
(24)
Разрешая равенства относительно 
и 
при 
и заменяя на 
, получаем:
(25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
(26)
Краевая задача при 
самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
(27)
,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
(27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь 
и 
с вектором 
, описываемую формулой (14а) т.е.:
(28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.