Файл
: FERMA-2mPF-for
©
Н
.
М
.
Козий
, 2007
Авторские права защищены свидетельствами Украины
№ 27312 и № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(soluvel.okis/evrika.html):
А
n
+ В
n
= С
n
/1/
где n
- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А
n
= С
n
-В
n
/2/
Пусть показатель степени n
=2
m
. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2
m
= С2
m
–В2
m
/3/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2
=А2
+ В2
,
/4/
где: С
– гипотенуза; А
и В
– катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А
, В
и С
выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:
А2
= С2
–В2
/5/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A
и переменными B
и С
. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2
=(
C
-
B
)∙(
C
+
B
)
/6/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C
-
B
=
M
/7/
Из уравнения /7/ имеем:
C
=
B
+
M
/8/
Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:
А2
=
M
∙ (
B
+
M
+
B
)=
M
∙(2
B
+
M
) = 2
BM
+
M
2
/9/
Из уравнения /9/ имеем:
А2
-
M
2
=2
BM
/10/
Отсюда: B =
/11/
Из уравнений /8/ и /11/ имеем:
C= /12/
Таким образом: B = /
13/
C
/14/
Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В
и С
были целыми, является делимость числа A
2
на число M
, т. е. число M
должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А
или A
2
.
Числа А и
M
должны иметь одинаковую четность
.
По формулам /13/ и /14/ определяются числа B
иC
как переменные, зависящие от значения числа А
как параметра и значения числа M
.
Из изложенного следует:
1. Квадрат простого числа A
равен разности квадратов одной пары чисел B
иC
(
приM
=1).
2. Квадрат составного числа A
равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B
иC
.
3. Квадрат числа Am
равен разности квадратов нескольких пар чисел.
4. Все числа A
> 2
являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А
, В
и С
и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А
, В
и С
выражаются целыми числами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 1
Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:
А2
m
= С2
m
–В2
m
=(С
m
–В
m
)∙(С
m
+В
m
)
/15/
Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем:
Bm
=
/16/
Cm
/17/
Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В
и С
были целыми, является делимость числа A
2
m
на число M
, т. е. число M
должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А
или A
2
m
.Следовательно, число A
2
m
должно быть равно:
A
2
m
=
M
·
D
,
/18/
где D
– целое число.
Тогда : Bm
=
/19/
А число Cm
с учетом уравнения /8/ равно:
Cm
=
Bm
+
M
=
/20/
Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует:
B
=
/21/
C
/22/
Если допустить, что В –
целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С
не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 2
Выше в доказательстве теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми. Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/:
С2
=А2
+ В2
/23/
Пифагоровы числа (А, В, С)
могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С,
получим:
С3
=А2
∙ С+ В2
· С
/24/
Из уравнения /24/ следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов. Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/24/ следует:
С3
>А3
+ В3
/25/
На всем множестве троек пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при показателе степени n
=3
не может быть ни одного решения уравнения /1/:
А
n
+ В
n
= С
n
Следовательно, на всем множестве натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба.
Умножив уравнение /23/ на С2
,
получим:
С2
∙С2
=А2
·С2
+ В2
∙С2
/26/
Все члены этого уравнения представляют собой объемы параллелепипедов:
параллелепипед С2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной С
и высоту С2
;
параллелепипед А2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной А
и высоту С2
;
параллелепипед В2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной В
и высоту С2
.
Следовательно, в соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов.
Поскольку, как показано выше, А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/26/ следует:
С4
>А4
+ В4
/27/
В общем случае уравнение /26/ можно записать следующим образом:
С2
∙С
n
-2
=А2
·С
n
-2
+ В2
∙С
n
-2
/28/
С
n
=А2
·С
n
-2
+ В2
∙С
n
-2
/29/
Следовательно, в соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/29/ следует:
С
n
>А
n
+ В
n
/30/
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.
Другие работы по теме:
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Способ доказательства "от противного". Глубинные вопросы гносеологии, сопутствующие решению проблемы. Информация доступна для понимания не только суперматематикам, но и обычным людям, проявляющим интерес к данной проблеме.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U''.
Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
Великая теорема Ферма
Вели?кая теоре?ма Ферма? (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Теорема Ферма история и доказательства
ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ РЕФЕРАТ Великая теорема Ферма Подготовил: Петров А. А., 9Б класс (физ-мат) г. Кемерово - 1998 Содержание 1. Биография Ферма
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c)
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
О необычности путей развития математики
Теорема есть некое математическое утверждение, правильность которого требует построения логической цепочки доказательств, основанной на использовании законов формальной логики с привлечением аксиом – истин, принимаемых как само собой разумеющееся.
Великая теорема Ферма
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно.
Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Великая теорема Ферма
Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма».
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.