АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ
ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»
Контрольное задание
По дисциплине: «Математика»
Москва 2010 г.
Контрольное
задание:
Упражнения
1.
Дана последовательность аn=(3n-5)/(4n+1). Установить
номер n0, начиная с которого выполняется
неравенство │аn-А │ < 1/500.
Отв. n0=719.
Найти:
2. lim (3-√х)/(х2-81).Отв.
–1/108.
х→9
3. lim (5х2-8)/(х3-3х2+11).Отв.
0.
х→∞
Проверить
непрерывность следующих функций:
4.
у=5х/(х3+8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна.
5.
у=(х2+4)/ √(х2-36). Отв. Функция непрерывна
при всех значениях
│х│>6.
6.
Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2-1).
Отв. Точки х1=–1/4
и х2=1/4.
Задача 1
Найти общий интеграл
дифференциального уравнения:
Решение
Выполним разделение
переменных, для этого разделим обе части уравнения на :
Проинтегрируем обе части
уравнения и выполним преобразования:
Ответ
Задача 2
Проинтегрировать
однородное дифференциальное уравнение:
Решение
Решение однородных
дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:
,
С учетом этого, исходное
уравнение примет вид:
Выполним разделение
переменных, для этого умножим обе части уравнения на , получим,
Проинтегрируем обе части
уравнения и выполним преобразования:
Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходного
уравнения:
Ответ
Задача 3
Найти общий интеграл
дифференциального уравнения:
Решение
Покажем, что данное
уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, . Преобразуем
правую часть уравнения:
Следовательно, данное
уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,
С учетом этого, уравнение
примет вид:
Выполним разделение
переменных, для этого умножим обе части уравнения на ,
Проинтегрируем обе части
уравнения,
Возвращаясь к переменной y, получим,
Ответ
Задача 4
Решить линейное
дифференциальное уравнение:
Решение
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни характеристического
уравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнения
будет иметь вид:
Ответ
Задача 5
Найти общее решение
дифференциального уравнения:
Решение
Общее решение
неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где – частное решение
исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни
характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение
однородного ДУ будет иметь вид:
Учитывая, что правая
часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде,
,
где A, B, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты
в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты
при соответствующих степенях x
и определим их:
Следовательно, частное
решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее
решение исходного ДУ:
Ответ
Задача 6
Решить уравнение:
Решение
Общее решение
неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где – частное решение
исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Составим
характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни
характеристического уравнения действительные и различны, то общее решение
однородного ДУ будет иметь вид:
Учитывая, что правая
часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде,
,
где A, B, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты
в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты
при соответствующих степенях x
и определим их:
Следовательно, частное
решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее
решение исходного ДУ:
Ответ
Комментарии к решению
В задаче №1, опечатка в
предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x.
В задаче №3, ответ
следует оставить в виде, содержащем модуль , т.к. нет достаточных оснований
его снять.
Другие работы по теме:
Анализ дифференциальных уравнений
Лекция: Содержание 2.1 Равноускоренное движение 5 2.2 Геометрические задачи 5 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными 7 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y (n) F (x, y, y', y’’,.y (n)) = 0.
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Вычисление пределов функций, производных и интегралов
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
Теория вероятностей
Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Список используемой литературы Задание 1 Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Решение дифференциальных уравнений
Задача 4 С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры линейной функции , приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
Кривые разгона объекта управления
Цель работы 1. Изучить методику экспериментального определения кривых разгона объекта управления и определить кривые разгона по каналам регулирования и возмущения для напорного бака.
Примеры решения
53 Найти неопределенный интеграл Применяли формулу интегрирования по частям 63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями Решение: Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Определение интегралов
Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения
Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Примеры решения
53 Найти неопределенный интеграл Применяли формулу интегрирования по частям 63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями Решение: Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Решение дифференциальных уравнений 2
Контрольная работа Вычислить предел функции. Вычислить производную функции. Исследовать функции f(х) и g(х) и построить графики. Вычислить неопределенные интегралы.
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
Анализ дифференциальных уравнений
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
Интегралы. Функции переменных
Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.
Буш Ванневар (Bush Vannevar)
Буш Ванневар (Bush Vannevar) (11 марта 1890, Эверетт, шт. Массачусетс - 28 июня 1974, Белмонт, шт. Массачусетс), американский ученый, создатель дифференциального анализатора, первого дифференциального аналогового компьютера.