Реферат: Определитель матрицы - Refy.ru - Сайт рефератов, докладов, сочинений, дипломных и курсовых работ

Определитель матрицы

Рефераты по математике » Определитель матрицы

Оглавление

 

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5


Задача 1

 

Вычислить определитель 4-го порядка.

Решение:

Определитель 4-го порядка находится по формуле:

 ,

где

aij – элемент матрицы;

Мij – минора элемента aij. Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij

 

Задача 2

 

Решить систему матричным способом.

Решение:

1.  Введем обозначения:

Тогда в матричной форме система имеет вид , т.е.

А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.

2.  Найдем определитель матрицы по формуле:

Так как , то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.

3.  Найдем обратную матрицу по формуле:

, где

- присоеденненая матрица, элементы которой  равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы , и затем транспонированная.

a.  найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:

Получается матрица

b.  транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)

c.  обратная матрица равна:

4.  Находим значение переменных х123:

Х1=-27,  Х2=36,  Х3=-9

Задача 3

Решить систему методом Крамера

Решение:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

1.  Данную систему представим в виде матрицы:

2.  Найдем определители:

,

 

(, т.е. можно применить метод Крамера)

;

.

3.  Найдем значение x, y:

,

,

Задача 4

Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:

Решение:

Данную систему представим в виде матрицы:

Шаг 1. 

В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:


;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Шаг 2. 

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

;      ;        

; ;

;               

Шаг 3.   


В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

;

;     

;       

Шаг 4.   

Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:

Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда

Х1=3,8-3,4С;                 Х2=23,6-7,8С;               Х3=-33+С


Задача 5

Даны векторы.

Найти:

Решение:

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.

Из данных уравнений выделим координаты векторов:

, где координатами являются (x,y,z)

т.е. координатами вектора  являются (18,2,1), а координатами вектора являются (1,-2,17).

1.  Скалярное произведение векторов находится по формуле:

2.  Длина  вектора  определяется по формуле: