Вступ
Для кращого сприйняття форми об'єкта необхідно мати його
зображення в тривимірному просторі. У багатьох випадках наочне представлення
про об'єкт можна одержати шляхом виконання операцій обертання і переносу, а
також побудови проекцій. Введемо однорідні координати. Точка в тривимірному
просторі задається чотиримірним
вектором чи . Перетворення з однорідних
координат описується співвідношеннями
(4.1)
де
T - деяка матриця перетворення.
Ця матриця може бути представлена у вигляді 4 окремих частин
Матриця 3x3 здійснює лінійне перетворення у виді зміни
масштабу, зсуву й обертання. Матриця-рядок 1х3 робить перенос, а
матриця-стовпець 3х1 - перетворення в перспективі. Останній скалярний елемент
виконує загальну зміну масштабу. Повне перетворення, отримане шляхом впливу на
вектор положення матрицею 4x4 і нормалізації перетвореного вектора, будемо
називати білінійним перетворенням. Воно забезпечує виконання комплексу операцій
зсуву, часткової зміни масштабу, обертання, відображення, переносу, а також
зміни масштабу зображення в цілому.
Тривимірна зміна масштабу
Діагональні елементи основної матриці перетворення 4х4
здійснюють часткову і повну зміну масштабу. Розглянемо перетворення
,(4.2)
яке робить часткову зміну масштабу. На рис.4.1а показане
перетворення паралелепіпеда в одиничний куб шляхом зміни масштабу. Загальна
зміна масштабу виходить за рахунок використання четвертого діагонального
елемента, тобто
. (4.3)
Це перетворення ілюструє рис.4.1б. Такий же результат можна
отримати при рівних коефіцієнтах часткових змін масштабів. У цьому випадку
матриця перетворення повинна бути рівна
. (4.4)
Вектори положення точок А і В рівні і .
Рис.4.1. Тривимірні перетворення iз зміною масштабів.
Тривимірний зсув
Недіагональні елементи верхньої лівої підматриці 3х3 від
загальної матриці перетворення розміру 4х4 здійснюють зсуви в трьох вимірах,
тобто
. (4.5)
Простий тривимірний зсув одиничного куба показаний на
рис.4.1в.
Тривимірні обертання
Раніше було показано, що матриця 3х3 забезпечувала комбінацію
операцій зміни масштабу і зсуву. Однак, якщо визначник матриці 3х3 дорівнює +1,
то має місце чисте обертання навколо початку координат. Перед розглядом
загального випадку тривимірного обертання навколо довільної осі дослідимо
кілька окремих випадків. При обертанні навколо осі х розміри уздовж осі х
не змінюються. Таким чином, матриця перетворень буде мати нулі в першому рядку
і першому стовпці, за винятком одиниці на головній діагоналі. Це приводить до
матриці перетворення, що відповідає повороту на кут навколо
осі х і задається співвідношенням
(4.6)
Обертання вважається додатнім, тобто за годинниковою
стрілкою, якщо дивитися з початку координат вздовж осі обертання. На рис.4.2а
показаний поворот на -90° навколо осі x.
Для обертання на кут Ф навколо осі y - нулі
ставлять у другому рядку і другому стовпці матриці перетворення, за винятком
одиниці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразом
(4.7)
Рис.4.2. Тривимірні обертання.
На рис.4.2б показаний поворот на 90° навколо осі y. Аналогічно матриця перетворення для
обертання на кут навколо осі z
має вид
(4.8)
Аналіз визначників для матриць (4.6)-(4.8) показує, що для
будь-якої матриці обертання детермінант дорівнює +1.
Тому що обертання описуються множенням матриць, то тривимірні
обертання некомутативні, тобто порядок множення буде впливати на кінцевий
результат. Для того щоб показати це, розглянемо обертання навколо осі х,
за яким слідує обертання на такий же кут навколо осі y. Використовуючи рівняння (4.6) і
(4.7) при = Ф, одержимо
Рис.4.3. Некомутативність тривимірних обертань.
(4.9)
Зворотна послідовність дій, тобто обертання навколо осі y і наступне за ним обертання на такий
же кут навколо осі x при = Ф
дає
(4.10)
На рис.4.3 для лівого верхнього зображення штриховими лініями
показані результати двох послідовних обертань, описаних матрицею перетворення
(4.9). Зображення, отримане обертаннями, виконаними в іншій послідовності,
описаними рівняннями (4.10), показані суцільною лінією. З порівняння отриманих
зображень видно, що при зміні порядку обертання виходять різні результати.
Часто буває необхідно обертати зображення навколо однієї з
осей декартової системи координат.
Відображення в просторі
Іноді потрібно виконати дзеркальне відображення тривимірного
зображення. У трьох вимірах найпростіше відображення здійснюється щодо площини.
Для відображення без зміни масштабів необхідно, щоб визначник перетворення дорівнював
-1,0. При відображенні щодо площини xy змінюється тільки знак координати z.
Отже, матриця перетворення для відображення щодо площини xy має вигляд
(4.11)
Відображення одиничного куба щодо площини ху показане на
рис.4.4. Для відображення щодо площини уz
(4.12)
Рис.4.4. Просторове відображення щодо
площини xy.
(4.12)
а для відображення щодо площини xz
(4.13)
Відображення щодо інших площин можна одержати шляхом
комбінації обертання і відображення.
Просторовий перенос
Тривимірний лінійний перенос зображення задається виразом
(4.14)
Після
перемножування одержимо
(4.15)
Тривимірне обертання навколо
довільної осі
тривимірне обертання фігура відображення
Метод двовимірного плоского обертання навколо довільної осі
був розглянений раніше. Узагальненням цього методу є спосіб обертання навколо
довільної осі в тривимірному просторі. Як і для плоского випадку, розглянена
процедура полягає в переносі зображення і заданої осі обертання, що забезпечує
обертання навколо осі, що проходить через початок координат. Метод тривимірного
обертання полягає в лінійному переносі, обертанні навколо початку координат і
зворотньому лінійному переносі у вихідне положення. Якщо вісь, навколо якої
виконується обертання, проходить через точку А = ,
то матриця перетворення визначається наступним виразом:
(4.16)
де елементи матриці обертання R розміру 4х4
визначаються в загальному випадку співвідношенням
(4.17)
Другие работы по теме:
Рух тіла
Реферат з фізики На тему: Рух тіла Усе про рух Рух супроводжує багато важливих процесів і реакцій, великих і малих. Учені можуть точно передбачити рух комети в космосі, літака в небі, кульок, що котяться униз згори, і дрібні рухи деталей годинникового механізму, використовуючи знання про один тип рухів для розрахунків руху інших об’єктів.
Індивід людина особистість
Реферат На тему: Індивід, людина, особистість Для розуміння природи особистості потрібно з’ясувати співвідношення цього поняття з іншими поняттями, що використовуються як у класичній, так і в сучасній психології. Це на сам перед поняття індивіда, людини , особистості, індивідуальності, суб’єкта.
Раціональні дроби та їх властивості
м. Комсомольськ гімназія ім. В.О.Ніжніченка ПРАКТИЧНА РОБОТА на тему Раціональні дроби та їх властивості” підготувала Шепель Ілона 2004 р. Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається
Раціональні дроби та їх властивості
Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним). Приведення раціональних дробів до спільного знаменника. Скоротити дріб - це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник.
Геометрия Лобачевского
Реферат З геометрії На тему: "Геомтрія Лобачевського" Виконав Учень 10-А класу Середньої школи № 96 Коркуна Дмитро Львів 2000 Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетинається з другою стороною кута.
Інтегральні перетворення Лапласа
Означення та властивості перетворення Лапласа, приклади розв'язання базових задач. Встановлення відповідності між двома точками за допомогою оператора. Застосування операційного методу математичного аналізу, проведення дій над логарифмами та числами.
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
Паралельні проекції
Елементарний математичний апарат плоских геометричних проекцій. Ортографічне косокутне проектування на площину, застосування матриць. Розгляд проекцій картинної площини в лівосторонній системі координат спостерігача, погодження з екраном дисплея.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Способи перетворення креслення
Сутність основних способів перетворення проекцій: заміни площин проекцій та обертання. Перетворення креслення так, щоб площина загального положення стала паралельною одній з площин проекцій нової системи. Основні положення плоско-паралельного переміщення.
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Цифрова обробка сигналів
Міністерство освіти та науки України Житомирський інженерно-технологічний інститут Кафедра АУТС Розрахунково-графічна робота Цифрова обробка сигналів”
Аналіз структурних властивостей зображень
Мета і методи аналізу й автоматичної обробки зображень. Сигнали, простори сигналів і системи. Гармонійне коливання, як приклад найпростішого періодичного сигналу. Імпульсний відгук і постановка задачі про згортку. Поняття одновимірного перетворення Фур'є.
Види та порядок проведення вейвлет-аналізу
Опис процедури обчислення багатовіконного перетворення, етапи її проведення, особливості сигналів та вейвлет-функцій для різних значень. Дослідження властивості розрізнювання вейвлет-перетворення. Апроксимуюча і деталізуюча компоненти вейвлет-аналізу.
Цифрова обробка сигналів
Знаходження згортки послідовностей способами прямого обчисленням і з використанням z-перетворення. Побудова графіків за результатами обчислення з використанням програми MathCAD. Визначення системної функції фільтра, імпульсної та частотної характеристик.
Процес квантування сигналів по рівню
Аналіз роботи алгоритму порозрядного зважування, визначення часу і похибок перетворення по відомим крокам квантування та рівню вхідного сигналу. Оцінка роботи кодера на прикладі генерації циклічного корегуючого коду при заданому рівнянні полінома.
Проектування печатних плат в P-CAD для Windows
Основні принципи роботи з програмами PATTED та SYMED. Розстановка на робочому полі створених та стандартних компонентів за допомогою програми Schematic, їх з'єднання проводниками, розташування виводів та отримання схеми печатної плати. Перетворення схеми.
Дослідження перехідних характеристик цифрових САК
Дослідження цифрових систем автоматичного керування. Типові вхідні сигнали. Моделювання цифрової та неперервної САК із використання MatLab. Результати обчислень в програмі MatLab. Збільшення періоду дискретизації цифрової системи автоматичного керування.
Криптосистеми
Визначення обчислювально стійкої криптосистеми, умови її реалізації, параметри оцінки стійкості. Імовірно стійка криптосистема. Математичні моделі асиметричних і симетричних криптоперетворень. Використання і побудування блокових і симетричних шифрів.
Криптологія
Створення математичної моделі інформаційної системи для надання користувачам інформації в використанні різних задач. Структурна схема захисту від зловмисних дій в системі. Класифікація криптоперетворень, умови реалізації безумовно стійких криптосистем.
Верифікація 3d зображень на основі фотографій
Розробка та використання програми для пришвидшення процесу перетворення двомірного зображення у об'ємне. Методика та процес випробовування для виявлення та усунення недоліків в роботі програми. Інтерфейс програми, встановлення параметрів зображення.
Реалізація функцій ABS(X), [X], {x}
Використання математичного сопроцесора або його емулятора при програмуванні на мові асемблера з використанням дробових чисел. Створення програми на мові ASM-86, яка реалізує функції [x], {x}, |X|. Алгоритм перетворення цілого числа в дійсне та навпаки.
Математична модель вимірювальної системи в середовищі Delphi
Курсова робота Математична модель вимірювальної системи в середовищі Delphi АНОТАЦІЯ Опис програми містить загальний опис алгоритмів головної програми та допоміжних на рівні блок-схем, а також більш детальний опис розробленої програми на рівні програмного коду.
Засоби розвитку психіки
Тема: . Формалізована структура теми. Засоби розвитку психіки - сукупність ідей, предметів, знарядь і способів дій - умови досягнення мети. Механізми роботи засобів: перетворення предмету діями відповідно потреб, а рівень розвитку засобів - показник дієздатності людини.
Цивільний кодекс наполеона
ЗМІСТ Вступ ………………………………………………………………………..3 РОЗДІЛ 1 Передумови прийняття, розробники та прийняття Цивільного кодексу Наполеона................................................6
Нітрати Азотні добрива
§ 19. Солі азотної кислоти називають нітратами. Нітрати можна добути внаслідок дії азотної кислоти на метали, основні оксиди, основи, аміак і деякі солі, наприклад:
Лінії передач для інтегральних схем
Лекція 9 . В інтегральній електроніці використовуються в основному плоскі лінії. Симетрично – смушкова лінія (ССЛ): вона відкрита, тому має втрати. Не симетрично – смушкова лінія (НСЛ):
Власні числа та власні вектори матриці
Реферат на тему: Власні числа та власні вектори матриці План Власні числа і власні вектори лінійного перетворення. Характеристичне рівняння. Властивості власних векторів і власних значень.
Формування органів та взаємодія частин зародка
Реферат на тему: Формування органів та взаємодія частин зародка. Наступний етап — формування тканин і органів — пов'язаний з подальшим диференціюванням клітин. В першу чергу, із ендодерми утворюється третій зародковий листок — мезодерма, який вростає між екто- і ентодермою, розділяючи їх. Потім у зародків хребетних тварин розпочинається формування нервової трубки і хорди.