Задание 1
Осуществить интерполяцию с
помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение
интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
|
Порядковый номер
исходных данных |
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Х |
1,415 |
1,420 |
1,425 |
1,430 |
1,435 |
1,440 |
1,445 |
1,450 |
1,455 |
1,460 |
У |
0,888 |
0,889 |
0,89 |
0,891 |
0,892 |
0,893 |
0,894 |
0,895 |
0,896 |
0,897 |
интерполяция погрешность
производная
Решение
Интерполяционный многочлен
Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого
порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для
экспериментальных данных:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,415 |
0,888 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1,420 |
0,889 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1,425 |
0,89 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
1,430 |
0,891 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
5 |
1,435 |
0,892 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
6 |
1,440 |
0,893 |
0,001 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
7 |
1,445 |
0,894 |
0,001 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
1,450 |
0,895 |
0,001 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1,455 |
0,896 |
0,001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1,460 |
0,897 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Задание 2
Уточнить значение корня на
заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую
производную функции
. Получим и .
Итерационное уравнение запишется
так:
.
В качестве начального
приближения возьмем правый конец отрезка .
Проверяем условие сходимости:
.
Условие сходимости метода
Ньютона выполнено.
Таблица значений корня
уравнения:
i |
|
1 |
3,083 |
2 |
2,606 |
3 |
2,453 |
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной
погрешности полученного результата можно использовать величину
.
Задание 3
Методами треугольников,
трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на
интервале определяется следующей формулой:
|
слева
|
справа
|
1 |
0,25 |
0,2 |
2 |
0,2 |
0,1667 |
3 |
0,1667 |
0,1429 |
4 |
0,1429 |
0,125 |
|
0,7595 |
0,6345 |
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется
полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между
точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
|
|
1 |
0,25 |
2 |
0,2 |
3 |
0,1667 |
4 |
0,1429 |
5 |
0,125 |
Значение интеграла: .
Метод Симпсона
|
|
1 |
0,25 |
2 |
0,2 |
3 |
0,1667 |
4 |
0,1429 |
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение
методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить
в виде таблицы:
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,2500 |
0,2751 |
0,0688 |
0,3188 |
1 |
0,45 |
0,3188 |
0,4091 |
0,1023 |
0,4211 |
2 |
0,7 |
0,4211 |
0,5634 |
0,1408 |
0,5619 |
3 |
0,95 |
0,5619 |
0,7359 |
0,1840 |
0,7459 |
4 |
1,2 |
0,7459 |
0,9318 |
0,2329 |
|
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму и
разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в
алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. Вычислить
произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на
комплексной плоскости.
Решение
Задача 1.
Задача 2.
Задание 6
Вычислить производную функции f(z) в точке .
Решение
Так как для аналитических
функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного
аргумента, то
Задание 7
Вычислить интеграл по
замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении.
Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
Решение
а)
Подынтегральная функция имеет
особые точки: . Тогда интеграл вычистится по
следующей формуле:
.
б)
Подынтегральная функция имеет
особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей
формуле:
.
Другие работы по теме:
Задачи Циолковского
Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное движение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.
Функции и их производные
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
по Математике 2
Содержание 1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 5
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Вопросы по алгебре
(устный экзамен) Тригонометрия: основные тригонометрические тождества; доказательство формул; мнемоническое правило. Свойства тригонометрических функций:
Шпаргалка по численным методам
{кофф линейноного уавнения} a:=y2-y1 b:=x1-x2 c:=-x1*(y2-y1)+y1*(x2-x1) {лежит ли точка на прямой} p:=false; if (x3-x1)*(y2-y1)-(y3-y1)*(x2-x1)=0 then p:=true;
Экстремумы функций 2
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений.
Математика. Интегралы
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x из (a,b) справедливо неравенство f(x ) (f(x *2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x
Матанализ
1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N
Дифференцирование Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций Пусть , тогда Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
Задачи по Математике 2
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0
Формулы шпаргалка
Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Определение предела числовой функции
31. . Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
Основные правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки. Интегрирование по частям.
Пределы последовательностей и функций
Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений.
Пенни Финляндия
Введение 1 История и описание Список литературы Введение Пенни (фин. penni, p) — в прошлом производная денежная единица и разменная монета Финляндии достоинством в одну сотую финской марки[1] с 1860-х годов XIX века до перехода страны на Евро с 1 января 2002 года.
Метод касательных (метод Ньютона)
Содержание Содержание 1 Используемая литература 1 Метод Ньютона (касательных). 2 Описание 2 Блок-схема алгоритма 3 Листинг программы 4 Результаты работы программы 6
Интегрирование методом Симпсона
Московский Авиационный Институт Расчетно графическая работа по: алгоритмическим языкам и программированию. кафедра 403 Выполнил: Гуренков Дмитрий гр. 04-109 /____________/
Математическая программа "Производная"
Методика проектирования программы, основной функцией которой является нахождение формулы производной на основании введенной пользователем исходной формулы, представляющей собой суперпозицию элементарных функций. Структура и возможности программы.
Термины авиации
Числовая последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая дискретные значения (не непрерывные).{yn} - ограниченная, если существует такое M (M>0), что для всякого n выполняется нер-во: -M<=yn<=M. {yn}- возрастающая, если для всех n: yn+1>=yn.
Самолеты
Числовая последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая дискретные значения (не непрерывные).{y } - ограниченная, если существует такое M (M>0), что для всякого n выполняется нер-во: -M