Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда
произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод
функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
Введение
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции
Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения
этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k -
конечное расширение поля Q, a
- некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение
на простые идеалы
где для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную норму
идеала a, т.е. Определим дзета-функцию Дедекинда :
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда
произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение
поля k; тогда
где произведение справа распространяется на все
примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов где S - исключительное множество в k, - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, - подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с
S, - подгруппа в подгруппе
главных идеалов в, состоящая из таких
главных идеалов , для которых и
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем
мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
1.
Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
где
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее положительное
число такое, что для всех, имеет место следующее легко
проверяемое тождество
отсюда, если положить, следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и
использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению
конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в
некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального
уравнения представляет собой отношение гамма-функций
и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также
является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что
не
является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций
.
Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции
Дедекинда
Пусть k=Q, K=Q (), где - первообразный корень из 1 степени
m, . Тогда
(1)
где - дзета-функция Римана, - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные
рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение
Воспользуемся функциональным уравнением для :
,
где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
,
,
используя свойство сумм Гаусса, получим
,
.
Пусть для любого вещественного характера , тогда
,
.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый,
тогда получим
,
,
,
.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где D - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции
Дедекинда в случае, когда k=Q, K=Q ().
Заключение
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции
Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы
вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q (),
где - первообразный корень из 1 степени
m.
Список используемой литературы
1.
Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир",
1969, с.328 - 330
Другие работы по теме:
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U''.
Теорема Дирихле
Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
Число пи четверками
Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c)
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Созвездия Водолей, Козерог
Звезда дзета Водолея была расположена на две составляющие еще в 1777 г. С тех пор в этой системе обнаружено орбитальное движение с периодом (по современным данным) в 361 год.
Великая теорема Ферма
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно.
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
Великая теорема Ферма
Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма».