МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова КУРСОВАЯ РАБОТА по вычислительной математике.
Вычисление двойных интегралов методом ячеек.
Выполнил студент
факультета ИиВТ,
группа ИВТ-11-00 Борзов Леонид
Чебоксары-2002
Содержание.
Теоретическая часть…………………………………………3
Задание………………………………………………………..4
Текст программы. ……………………………………………5
Блок-схема программы…………………….………………...6
Выполнение программы в математическом пакете………..7
Список использованной литературы……………………......8
Теоретическая часть.
Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
I= (1)
Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , .По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x,y):
S=(b-a)(d-c). (2)
Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. . Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:
(3)
Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки ij (рис. 1): xi-1 i (i=1,2,…,M), yi-1 i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим
Gijf(x,y)dxdy()xiyi.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:
I,j) (4)
В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x,y).
Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением
Rijxiyj.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде
O(x2+y2).
Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M/N остаётся постоянным.
Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла
, где
– область, ограниченная функциями
.
Текст программы.
#include<conio.h>
#include<iostream.h>
float f(float,float);
void main() {
const float h1=.0005,h2=.001;
float s1,x,y,i,I;
clrscr();
s1=h1*h2;
I=0;
y=h2/2;
x=1-h1/2;
for(i=0;i<1/h2;i++) {
while (y<2*x-1) {
I+=s1*f(x,y);
x-=h1;
}
y+=h2;
x=1-h1/2;
}
cout<<"Площадь интеграла равна: "<<I;
getch();
}
float f(float x,float y){
return x*x+y*y;
}
Блок-схема программы.
Выполнение программы в математическом пакете.
h1=.0005;
h2=.001;
s1=h1*h2;
I=0;
y=h2/2;
x=1-h1/2;
for i=1:1/h2
while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y);
x=x-h1;
end
y=y+h2;
x=1-h1/2;
end
disp('Площадь интеграла равна:');
disp(I);
В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла
Площадь интеграла равна:
0.2190
Список использованной литературы.
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.
3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978.
4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
Другие работы по теме:
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Формулы шпаргалка
Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
Несобственные интегралы
Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Несобственные интегралы» 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна.
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Несобственные интегралы
Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
Миля
Ми́ля (от лат. mille passuum — тысяча двойных римских шагов «тростей») — путевая мера для измерения расстояния, введенная в Риме. Миля применялась в ряде стран в древности, а также во многих современных странах до введения метрической системы мер. В странах с неметрической системой мер миля применяется до настоящего времени.
Нахождение интегралов в среде Pascal
Методика и основные этапы нахождения интеграла функции sin (x+10)+x4=0 с помощью двух подходов: метод прямоугольников и метод трапеций. Составление соответствующей программы в среде Pascal. Оценка возможностей пользователя при решении данного задания.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Исследование методов вычисления определенных интегралов
Методы вычисления определенных интегралов: метод трапеций и метод Симпсона (парабол). Примеры применения, блок-схемы методов трапеций и Симпсона. Разработка программы в объектно-ориентированной среде программирования Lazarus, конструирование интерфейса.
ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции
Изучение представления, основных способов расчета для целых положительных, простых чисел и ряда точек, и вычисления путем аппроксимации логарифма гамма-функции. Предоставление функциональных моделей, блок-схем и программной реализации решения задачи.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.