КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)
.
б)
Отсюда следует, что при ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.
Рассмотрим случай
Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд
При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.
Ответ:
9.3.2.
а)
. По признаку Даламбера ряд сходится, если .
Ряд будет сходится при
Первый случай или
В промежутке ряд сходится.
Второй случай
В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.
При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…
Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.
б)
Ряд будет сходиться при .
1)
в интервале ряд сходится.
2)
в интервале 3<x<8 ряд сходится.
Общий интервал сходимости –2<x<8.
На концах интервала х=-2, имеем ряд:
— расходящийся гармонический ряд.
в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
Ряд сходится при условии
1)
Решим неравенство:
корней нет, следовательно: — всегда.
Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.
Исследуем концы интервалов:
1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .
2)
б)
.
Ряд сходится при .
1) интервал сходимости .
2) интервал сходимости .
Исследуем границы интервала.
1)
По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд — расходится.
2) .
Сравним с рядом по второму признаку сравнения
расходится, то расходится и ряд .
3.9.4.
а)
Ряд сходится при
1) тогда
корней нет, .
Решаем неравенство:
.
Решаем полученное неравенство:
В промежутке (1,3) ряд сходится.
На концах интервала имеем:
1)
Ряд расходится, т.к. .
2)
б)
Ряд сходится при условии или
Интервал сходимости .
На концах интервала.
1)
— ряд расходится, т.к. расходится ряд .
2)
Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.
9.3.5.
а)
Ряд сходится при условии .
1)
2)
Исследуем концы интервала:
1)
2)
б)
Ряд сходится при условии откуда
9.3.6.
а)
Ряд сходится при
и корней нет, следовательно, имеет условие
Интервал сходимости .
Исследуем концы интервалов:
1)
Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница
— выполняется
Ряд сходится при
Получим такой же ряд.
б)
Проверяем признак Даламбера:
Условие сходимости
На концах интервала имеем:
1)
Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится условно при .
Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.
.
9.3.7.
а)
Проверяем концы интервалов
1)
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).
б)
9.3.8.
а)
Условие сходимости .
Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид
Интервал сходимости .
На концах интервала
Получаем один и тот же ряд
.
Члены этого ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд расходится.
б)
Условие сходимости
На краях интервалов:
1) . Получается ряд:
Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.
2)
9.3.9.
а)
1. Если , т.е. и необходимо решить неравенство: . Получается интервал .
2.
Интервал с учетом .
На концах интервала:
1)
Ряд сходится. Аналогично при .
.
б)
Интервал сходимости определяется неравенством
9.3.10.
а)
Найдем дискриминант числителя
б)
1)
2)
1.
2.
Другие работы по теме:
Ряды динамики в анализе социально-экономического явления
Построение и анализ рядов динамики для выявления и измерения закономерности развития общественных явлений во времени. Характеристика степени занятости населения в сфере транспорта и связи по системе цепных показателей: фактору полноты и выражению уровня.
Корреляция ВВП и коррупции
Гипотеза о сходимости, или конвергенции (convergence hypothesis) ВВП: гипотеза об абсолютной сходимости, об условной сходимости, о клубной сходимости. Сходимость валового регионального продукта и влияние коррупции на темп роста региона - их корреляция.
Исследование оперативной памяти
Методика применяется для изучения оперативной памяти в тех случаях, когда она несет основную функциональную нагрузку. Порядок проведения Испытуемому вручается бланк, после чего экспериментатор дает следующую инструкцию.
Жалюзийные аппараты
. Эти аппараты имеют жалюзийную решетку, состоящую из рядов пластин или колец. Очищаемый газ. проходя через решетку, делает резкие повороты. Пылевые
Математическая статистика
Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
Повторные ряды
План работы Введение……………………………...………………….…… 5 §1 Повторные ряды ……………….......................................... 6 §2. Сходимость повторных рядов …………………………... 7
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Содержание 1. Признак Даламбера 2. Признак Коши 3. Интегральный признак сходимости ряда 4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Решение дифференциальных уравнений
Задача 4 С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры линейной функции , приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
Числовые ряды 3
Числовые ряды Основные понятия Числовым рядом называется выражение вида – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда общим членом
Примеры решения
53 Найти неопределенный интеграл Применяли формулу интегрирования по частям 63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями Решение: Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии
Числовые ряды
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые ряды Содержание Лекция. Числовые ряды 1. Определение числового ряда. Сходимость 2. Основные свойства числовых рядов 3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Поиск нулей функции. Итерационные методы
Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом
Особенности ариорного выбора числа итераций в методе простых итераций с попеременно чередующимся шагом для уравнений I рода. Анализ и постановка задачи. Сходимость при точной правой части. Сходимость при приближенной правой части. Оценка погрешности.
Примеры решения
53 Найти неопределенный интеграл Применяли формулу интегрирования по частям 63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями Решение: Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии
Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
Числовые ряды
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
Сходимость рядов
Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
Типовой расчет
Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.
Интегралы. Функции переменных
Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Статистическое изучение вариации
Содержание Введение……………………………………………………………………….…..3 1. Понятие вариации и её значение…………………………………….………. .5 2. Характеристика закономерности рядов распределения и графическое изображение вариационного ряда……………………………………….………7