Наукова робота на тему:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та
полярних координатах. Площа поверхні
План
Довжина дуги
кривої в декартових і полярних координатах
Площа поверхні
Площа поверхні
обертання
Площа
циліндричної поверхні
Довжина
дуги
Це питання
для кривої, заданої рівнянням , вже розглядалося в раніш. Там була знайдена формула
(10.9)
Якщо крива
задана параметрично, тобто у вигляді
то
(10.10)
Для
просторової кривої, що задана параметрично
,
довжина дуги
обчислюється за формулою
(10.11)
аналогічно
формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги,
кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є
хордою елемента дуги.
У випадку
задання кривої в полярній системі координат
,
Матимемо
(10.12)
Пропонується
вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах
можна записати як параметричні з параметром q :
і
використавши формулу (10.10).
Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої
рівнянням
Розв‘язок.
Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7
фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо
Площа
поверхні
Площа
поверхні обертання
Довжина дуги,
що обмежує смужку зверху (рис.10.9),
Ця дуга в
разі обертання утворить поверхню обертання, Тоді площа поверхні цього конуса
нескінченно малої висоти
Нескінченно
малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо
Звідки
(10.7)
Площа
циліндричної поверхні
На рис. 10.10
зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі. Нехай ця поверхня
задана рівняннями
Рис.10.9 Рис.10.10
Виділивши
смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу
(10.8)
Зауваження
1. При одержанні формул (10.1) – (10.2),
(10.4) – (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис.
10.1, 10.4,10.5), сектором з центральним кутом (рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не
вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються
нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б
строго довести.
Приклад. Еліпс із великою піввіссю і
малою піввіссю робить
один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхню
обертання еліпса в кожному з двох випадків.
Розв‘язок.
Досить розглянути лише половину еліпса:
В результаті
обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)
де -
ексцентриситет еліпса.
За допомогою
підстановки матимемо
У випадку
обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл
В обох
випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.
Другие работы по теме:
Реконструкція ділянки залізниці
Реконструкція поздовжнього профілю ділянки залізниці. Аналіз технічного оснащення і стану земляного полотна, штучних споруд та будови колії. Розрахунок відміток головки рейки. Нанесення проектної лінії з урахуванням вимог будівельних норм і правил.
Розрахунок газоповітряного рекуператора
Міністерство освіти та науки України Кафедра „ТГ” Пояснююча записка до курсової роботи Розрахунок газоповітряного рекуператора” Підготував: ст.гр.М-227 Сталь О.П.
Розрахунок газоповітряного рекуператора
Проведення теплового, конструктивного та аеродинамічного розрахунків газоповітряного рекуператора, вибір стандартного теплообмінного апарату. Розрахунок коефіцієнтів тепловіддачі конвекцією, потужності електричного приводу дуттьового вентилятора.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Застосування подвійних інтегралів
Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
Потрійний інтеграл
Характеристика та поняття потрійного інтеграла, умови його існування та основні властивості. Особливості схеми побудови та обчислення потрійного інтегралу, його застосування для розв’язання рівнянь. Правило заміни змінних в потрійному інтегралі.
Сліди і базиси розширеного поля
Методика проведення операції в розширених полях. Сліди і базиси розширеного поля. Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах. Подання точок кривої у різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК.
Невласні подвійні інтеграли
Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
Інтегральні характеристики векторних полів
Диференціальні операції другого порядку. Потік векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі. Властивості соленоїдального поля. Інваріантне означення дивергенції. Формула Стокса у векторній формі. Властивості потенціального поля.
Геометричні фігури на площині та їх площі
Геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії - розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині. Визначення кута, трикутника, квадрата, чотирикутника, ромба, паралелограма, трапеції, багатокутника та їх площ античними та сучасними методами.
Теорії лінійних одноконтурних автоматичних систем регулювання
Визначення перехідної функції об’єкта керування. Побудова кривої розгону об’єкта. Обчислення і побудова комплексно-частотної характеристики (КЧХ) об’єкта. Побудова КЧХ розімкнутої автоматичної системи регулювання. Запас сталості за модулем і фазою.
Поверхні другого порядку
Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1)
Розв'язування задач сфероїдної геодезії
Обчислення довжини дуги меридіану та паралелі. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра та способом аддитаментів. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера і розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами.
Аналіз та обчислення дужкових виразів
Реферат на тему: Аналіз та обчислення дужкових виразів У розділі 9 розглядалися дужкові арифметичні вирази, мова яких породжується розширеною LA(1)-граматикою G2:
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат: