С.С. Кубрин
Институт “Гипроуглеавтоматизация”, Кемерово
Классически, в литературе описание фракталов начинается с примера триадной кривой Гельгона фон Коха. Эта кривая строится итеративно. Построение начинается с прямолинейного отрезка единичной длины. На первом шаге исходный отрезок заменяется четырьмя длиной каждый в 1/3 от длины исходного. Далее, операция повторяется с каждым вновь полученным отрезком. Таким образом, получают кривую Коха разной детальности в зависимости от числа итераций. Когда число итераций устремляется к бесконечности () получаем предельную кривую (рис. 1).
Легко видеть, что длина триадной кривой Коха определяется формулой и стремится к бесконечности. Соответственно, размерность Хаусдорфа данного фрактального образования определяется соотношением: ( - число элементов, - относительный размер элементов).
Для построения кривой Коха, используется только одна структура. К сожалению, такие фракталы в природе редко встречаются. Чаще всего, в построении фракталов участвуют несколько структур, состоящих из различного числа элементов. Причем, размеры элементов структур также различны.
Рассмотрим небольшой пример. Пусть элементы кривой (это, конечно, будет уже не кривая Коха) на первой итерации делятся на три элемента, на второй на четыре, в третьем на пять, в четвертом снова на три и так далее изменясь циклически. А правило определяющее размер элементов остается тем же, что и для кривой Коха.
Тогда, в самом начале процесса длина кривой определяется как; где: - число элементов, - длина элемента. На первом шаге (n=1) длина кривой и её форма не меняются, (,).
Запишем число элементов кривой и длины элементов для следующих нескольких итераций. Так при:
n=2, , n=3, ,
n=4, , n=5, ,
n=6, ,
и соответственно для:n, ,.
Итак, длина кривой будет равна. Выражая n через длину элемента () и применяя прямую и обратную операции логарифмирования имеем:
.
Рис.2. Влияние на размерность Хаусдорфа числа структур с различным
количеством элементов (l = 1/10). В точке n = 1 k = 11.
Откуда фрактальная размерность. По сравнению с кривой Коха у вновь полученной кривой размерность Хаусдорфа меньше, но длина ее все еще не конечна. Обобщая полученный результат, на произвольное число структур, формула для определения размерность Хаусдорфа при циклическом структуроформирующем правиле примет вид:
,
здесь: å - число различных структур; - число элементов в структуре; - число повторений структуры.
Произведя аналогичные рассуждения относительно правила, определяющего размер элементов структур, получим зависимость от числа структур и вариации размеров элементов структур:
.
Проанализируем влияние численности структур, участвующих в формировании фрактального образования, на размерность Хаусдорфа этого образования. Пусть имеются несколько фрактальных образований. Первое строилось с помощью одной структуры, состоящей из j элементов. Второе – с помощью трех структур, состоящих соответственно из j-1, j и j+1 элементов. Третье – с помощью пяти структур, состоящих соответственно из j-2, j-1, j ,j+1 и j+2 элементов. И так далее. На рис. 2 построен график зависимости размерности Хаусдорфа от числа структур. Из рисунка видно, что, чем больше разнообразность структур, тем меньше размерность.
Рис.3. Влияние на размерность Хаусдорфа числа различных элементов в структуре (k = 11). В точке n = 1 l = 10.
Рис. 3 иллюстрирует влияние на размерность Хаусдорфа вариации размеров элементов в структуре. С увеличением количества размеров элементов, растет размерность.
Анализ полученных результатов приводит к выводу, что вычисление размерности Хаусдорфа в сложных фрактальных образованьях осреднением числа или (и) длин элементов структур недопустимо. Прикладной интерес представляют фракталы с размерностью меньше размерности пространства.
Использование фракталов с циклически повторяющимися структурами позволяет легко получать самоподобные образование требуемой размерности, что необходимо в различных приложених.
Список литературы
Пайтген Х.О., Рихтер П.Х., Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем, М.: Мир, 1993. 176 с.
ФедерЕнс. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry of Nature. Freeman, SanFrancisco, 198
Другие работы по теме:
Логистический цикл
При организации логистического процесса часто приходится иметь дело с повторяющимися (возобновляемыми) во времени последовательностями операций, образующими так называемые логистические циклы.
Броуновское движение
Понятие, причины и закономерности броуновского движения - хаотического движения частиц вещества в жидкости или в газе. Ознакомление с содержанием теории хаоса на примере движения бильярдных шариков. Способы восстановления детерминированных фракталов.
Автор Рыбаков Д. А
В результате созданные ими идеализированные объекты весьмы редко встречаются в природе в чистом виде. В природе нет прямых линий, идеальных окружностей, плоскостей и тд Всевозможные возмущения, которыми пренебрегают, постоянно вносят свой вклад и портят иллюзию простоты
Отчет 124 с., 7 ч., 47 рис., 25 табл., 74 источника
Проект направлен на изучение термодинамической стабильности, структуры и свойств минеральных фаз, содержащих радиоактивные и токсичные элементы (ртэ), с целью понимания механизмов их миграции в условиях земной поверхности и совершенствования материалов для их захоронения
работа
С клавиатуры вводится текстовое предложение (до 70 символов) и определяется частота появления каждого символа в нём
Фрактальная размерность стримерных каналов
На основе фрактального исчисления скейлинговые показатели полной длины внутри выделенной области и числа ветвлений стримерных каналов выражаются через фрактальную размерность.
Джоаккино Россини
(1792-1868) Россини — один из крупнейших и популярнейших итальянских композиторов XIX в., чьи произведения и в наше время звучат в лучших оперных театрах мира. Музыка Россини, отмеченная необычайным талантом, ярко индивидуальна, жизнерадостна, наполнена красивыми, никогда не повторяющимися мелодиями.
Мерцательная аритмия
На сегодняшний день мерцательная аритмия сердца является одним из наиболее распространенных заболеваний, связанных с нарушением сердечного ритма. Этот вид аритмии сердца может быть постоянным или проявляться повторяющимися приступами.
Хронический холеоцистит
Воспаление стенки желчного пузыря, вызванное длительным раздражением либо камнем, либо повторяющимися острыми воспалительными процессами, либо бактериальной персименцией.
Гименолепидоз
Определение, этиология, эпидемиология и патогенез. Симптомы и течение. Диагноз.
Фрактальность
Придумал слово «фрактал» (от латинского «фрактус» —дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир.
Введение во фракталы
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………2 КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ……………………………..3 Самоподобие………………………………………………….3 Снежинка Коха………………………………………………3
Функциональный анализ
Функциональный анализ Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394). Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .
Красота повтора
Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций.
Материя в дробноразмерном пространстве
Рассмотрим восприятие пространства нашего мира. В настоящее время - пространство трёхмерное (три координаты, при триангуляции требуется три измерения), четвёртая координата - время.
Основы фрактального исчисления
Предложена система аксиом, определяющие фрактальное исчисление. Показано ее применение для иерархических структур. В качестве фрактальных разветвленных структур рассмотрены дельты рек и стримерные каналы.
Фракталы и автоколебания в геоморфосистемах
Формирование, развитие и самоорганизация целостных систем осуществляется через диалектическое взаимодействие двух потоков вещества и энергии противоположной направленности.
Фрактальна розмірність
Перегляд основ математики. Фрактальні властивості в природі. Фрактальна розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Канторівский пил, крива Пеано, сніжинка фон Коха, килим Серпінського. Поняття типових фракталів та порівняння їх між собою. Загальна теорія хаосу.
Размерность конечных упорядоченных множеств
Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
Решение задач с помощью задания формул и создания макросов
Суммирование элементов столбцов заданной матрицы и получение результатов в одномерных массивах с помощью задания формулы и создания макросов. Нормирование вектора и нахождение его длины, объявление массива, указание его размерности, вывод формы.
Понятие и элементы массива
Массив - это коллекция переменных, которые имеют общее имя и базовый тип. Функциональные возможности, виды массивов и их характеристика. Основные требования к входным и выходным данным массива. Использование IF THEN для перехвата всех возможных ошибок.
Фракталы в нефтегазовой геологии и геофизике
Данное сообщение посвящено разработкам новых методов фрактального анализа нефтегазонасыщенных объектов как открытых динамических систем с быстро меняющимся состоянием, то резко напряженным, то близким к стабильному.
Александров Павел Сергеевич
Начав научную работу в области теории множеств и теории функций действительного переменного, Александров получил ряд замечательных результатов (теорему о мощности борелевых множеств).