Системы линейных уравнений

Рефераты по математике » Системы линейных уравнений

1. Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (5.1)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

am1 x2 + am2 x2 +... + amn xn = bm

Здесь аij и bi (i = ; j = ) - заданные а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B (5.2)

где A = (аij ) - матрица состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1) которая называется матрицей системы X = (x1 x2 ... xn )T

B = (b1 b2 ... bm )T - векторы-столбцы составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi .

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1 c2 ... cn ) называется решением системы (5.1) если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1 x2 ... xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами если существует вектор C= (c1 c2 ... cn )T такой что AC ≡ B.

Система (5.1) называется совместной или разрешимой если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной или неразрешимой если она не имеет решений.

Матрица

à =

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранги матриц A и Ã совпадают т.е.

r(A) = r(Ã) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = Ø (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае когда

r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m > n то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы в которых число уравнений равно числу неизвестных - так называемые системы крамеровского типа:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (5.3)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

an1 x2 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.

2. Метод Гаусса

Исторически первым наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности треугольную) систему равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений а расширенную матрицу этой системы выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

3. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3) т.е. определитель матрицы А

Δ = det (aij )

и n вспомогательных определителей Δi (i = ) которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · xi = Δi (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля то система имеет единственное решение определяемое по формулам:

xi = Δi / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δi = 0 (i = ) то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0 а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля то система несовместна.

4. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная т.е.

det A ≠ 0 то матрица А имеет обратную и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1 B. Иначе говоря данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C C = A-1 B называют матричным способом решения системы или решением по методу обратной матрицы.