МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Выполнила:
студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил:
Рошаль А.С.
Москва 2002 год
2
Содержание
Введение 3
2. Нахождение асимптоты 4
2.1 Геометрический смысл асимптоты 5
2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6
3. Виды 8
3.1 Горизонтальная асимптота 8
3.2 Вертикальная асимптота 9
3.3 Наклонная асимптота 10
Использованная литература 12
3
Введение
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение асимптоты
Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех
x <а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции
f (x) при x®+¥ (соответственно при х ®-¥).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥
(или х ®-¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
x- 3x - 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
2 2
получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ®±¥, то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,
так и при х ®-¥.
5
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,
q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹,
MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
(рис.1)
Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM- QM = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот. х ®+¥
х ®+¥
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+¥ или, соответственно, х ®-¥).
6
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х ®+¥ (при х ®-¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ®+¥. Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+¥. Тогда
lim = k.
х ®+¥
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
х
®
+
¥
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х ®+¥
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
х ®+¥
lim [f (x) - (kx + l)] = 0,
х ®+¥
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)
х ®+¥ х ®+¥
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует
представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)
х ®+¥ х ®+¥
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,
найденную нами выше другим способом:
7
то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, как при х ®+¥, так и при х ® - ¥.
В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.
8
3. Виды
3.1 Горизонтальная асимптота
Пусть $lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x® +¥) (рис.2)
(рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
(рис.3)
9
3.2 Вертикальная асимптота
(рис.4)
Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ±¥. Тогда говорят, что прямая x = a является
х ®¥
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или -¥.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
.
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
10
3.3 Наклонная асимптота
(рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ®±¥
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ®¥
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина
Но тогда мы имеем
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример
то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.
11
Аналогично можно показать, что при x ®- ¥ асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции выглядит так (рис.6)
(рис.6)
12
Использованная литература
1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3. Лекции по математике
Другие работы по теме:
Изучение матриц
. Дайте определение алгебраического дополнения элемента определителя. Приведите пример вычисления алгебраического дополнения элемента а определителя 3-го порядка
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Математический анализ
Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
Дифференцирование. Интегрирование
Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Математические уравнения и функции
Варивант №2 адание 1 Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти: Длину стороны АВ; Внутренний угол А с точностью до градуса; Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
по Математике 2
Содержание 1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 5
Контрольная работа по Математике 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Дифференциальное исчисление функций
Содержание 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 3. Интегральное исчисление функции одного переменного
Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
Алгебраические уравнения
Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
Математика. Интегралы
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x из (a,b) справедливо неравенство f(x ) (f(x *2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x
Дифференцирование Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций Пусть , тогда Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
Шпаргалка по Геометрии
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых.
Анализ поведения функций при заданных значениях аргумента
Национальный Горный Университет Украины Контрольная работа по дисциплине «Использование вычислительной техники» Днепропетровск Используя приложение Excel пакета Microsoft Office (версии 95,97, 2000 или XP) рассчитать значения функций и построить графики.
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Матрицы. Дифференциальные уравнения
Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.
Шпора по матану
1.Мн-во операций над мн-вами Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом. Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ.
Исследование функций
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
Изучение матриц
Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
Решение математических уравнений и функций
Вариант 1 Задание 1 Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти: длину стороны АВ; внутренний угол А с точностью до градуса; уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
Анализ режимов автоматического управления
Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы. Построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик. Синтез системы "объект-регулятор", расчет оптимальных параметров.
Частотные и переходные характеристики систем авторегулирования
Характеристика радиопередающих устройств, применяемых в сферах телекоммуникации, телевизионного и радиовещания, радиолокации. Частотная и переходная характеристика замкнутой системы - показатель качества при гармоническом и скачкообразном воздействиях.
Одновісний гіроскопічний стабілізатор
Аналіз і синтез лінійної САК: її структурна схема та передаточні функції. Визначення стійкості системи та логарифмічно-частотні характеристики. Визначення періоду дискретизації та перехідна характеристика. Логарифмічні псевдочастотні характеристики.
Аполлоний Пергский
Написал ряд сочинений, не дошедших до нас. Важнейший труд — “Конические сечения” (четыре книги сохранились в греческом подлиннике, 3-я в арабском переводе, 8-я книга утеряна).