Министерство общего и
профессионального образования Российской федерации.
Уральский Государственный
Технический Университет - УПИ.
Реферат
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ
ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П.В.
Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и
УМФ
Пироговская Л. М.
Екатеринбург.
1999.
1. Координаты центра тяжести.
Пусть на плоскости Oxy дана система
материальных точек
P1(x1,y1);
P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c
массами m1,m2,m3,
. . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты
центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
Эти формулы используются при отыскании центров тяжести
различных фигур и тел.
2. Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x),
x=a, x=b, представляет собой материальную
плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади
поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех
частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b
на полоски ширины Dx1, Dx2,
. . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее
площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником
(рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где
x, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет
находиться в центре соответствующего прямоугольника:
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой,
масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре
тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
Переходя к пределу при ,
получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е.
имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно,
координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).
3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
В предыдущей главе указывалось, что координаты центра
тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1,
m2, . . ., mn определяются
по формулам
.
В пределе при интегральные
суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные
интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат
центра тяжести плоской фигуры:
(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во
всех точках плотность g.
Если же поверхностная плотность переменна:
то соответствующие формулы будут иметь вид
Выражения
и
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно
осей Oy и Ox.
Интеграл выражает
величину массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Теорема
1.
Площадь
поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в
плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной
на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
Теорема
2.
Объем
тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и
расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на
длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
II.Примеры.
1)
Условие:
Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.
Решение:
Определим абсциссу центра тяжести: ,
Найдем теперь ординату центра тяжести:
2)
Условие:
Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого
прямой, х=а (рис. 2)
Решение: В
данном случае поэтому
(так
как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)
Условие:
Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
полагая, что поверхностная плотность во всех точках
равна 1.
Решение: По
формулам (*) получаем:
4)
Условие:
Найти
координаты центра тяжести дуги цепной линии .
Решение:
1Так
как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр
тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти .
Имеем тогда длина дуги
Следовательно,
5)
Условие:
Пользуясь
теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга
.
Решение:
При
вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен
Согласно
второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти
круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного
угла, а потому
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко П.Е.,
Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах»,
часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С.
«Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том
2, «Наука», Москва, 1965
Другие работы по теме:
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Теоритические понятие центра тяжести тела
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТЕЛА. ассмотрим сложение параллельных сил. Представим, что к трём точкам А1, А2 и А3 твердого тела приложены параллельные силы
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Основы прикладной механики
Определение равнодействующей плоской системы сил. Вычисление координат центра тяжести шасси блока. Расчёт на прочность элемента конструкции: построение эпюр продольных сил, прямоугольного и круглого поперечного сечения, абсолютного удлинения стержня.
Основы прикладной механики
Санкт-Петербургский Государственный Университет Телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича Кафедра ПРЭС Курсовой проект по дисциплине “Прикладная механика”
Вынесение на местность точки координат
Методика и этапы вынесения на местность точки методом прямоугольных координат, ее сущность и особенности, практическое применение в строительном деле. Составление картограммы земляных работ по данным схемы нивелирования, перенесение ее на миллиметровку.
Папп Александрийский. Теоремы Паппа-Гульдена
В данной работе мы рассмотрим то немногое из биографии Паппа Алекасндрийского, что было нам приоткрыто из-за завесы веков и докажем одну из важнейших теорем интегрального исчисления – теорему Паппа-Гульдена.
Математический анализ
Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
Гравитационное поле точечной массы и шара
Нахождение аномалий силы тяжести, создаваемых телами известной формы, составляет прямую задачу гравиметрии. В основе аналитического способа решения прямой задачи лежит известный закон всемирного тяготения Ньютона.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Использование расчетных формул в задачах
Задача 1. Определить центр тяжести сечения. Решение Укажем оси координат с началом в нижнем левом углу сечения. Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Декартовыми прямоугольными координатами
точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Использование расчетных формул в задачах
Определение центра тяжести сечения. Вычисление, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю, построение эпюры крутящих моментов. Расчет значений осевых и центробежных моментов инерции, построение схемы сечения.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Прямоугольная система координат
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Чтобы определить эти координаты делают следующие построения. Проводят две взаимно перпендикулярные прямые X`X, Y`Y. Они называются — оси координат.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Отчет по практике Теодолитная съемка
Министерство среднего профессионального образования Свердловской области ГОУ СПО СО «Екатеринбургский монтажный колледж» Отчет по практике по курсу основ геодезии
Вертикальная планировка
Инженерные задачи, решаемые при преобразовании существующего рельефа местности. Расчет проектной отметки центра тяжести площадки. Вычисление горизонталей методом интерполирования. Линия нулевых работ. Картограмма земляных масс. Баланс земляных работ.
Геодезия
Геодезия (греч. ge daisa, от ge – Земля и daio – делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет.